【bzoj5028】小Z的加油店 扩展裴蜀定理+差分+线段树

题目描述

给出 $n$ 个瓶子和无限的水，每个瓶子有一定的容量。每次你可以将一个瓶子装满水，或将A瓶子内的水倒入B瓶子中直到A倒空或B倒满。$m$ 次操作，每次给 $[l,r]$ 内的瓶子容量增加 $x$ ，或询问使用 $[l,r]$ 内瓶子能够凑出的最小体积。

输入

第一行包括两个数字：瓶子数n，事件数m。

第二行包含n个整数，表示每个瓶子的容量vi。

接下来m行，每行先有三个整数fi li ri。

若fi=1表示询问li到ri他最少能倒腾出的汽油量最少是多少？

若fi=2 再读入一个整数x。表示他将li到ri的瓶子容量都增加了x。

1 <= n,m <= 10^5 , 1<=li<=ri<=n , 1<=初始容量,增加的容量<=1000

输出

对于每个询问输出对应的答案

样例输入

3 4
2 3 4
1 1 3
2 2 2 1
1 1 3
1 2 3

样例输出

1
2
4

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题解

扩展裴蜀定理+差分+线段树

由 【bzoj2257】瓶子和燃料 的结论，答案为区间 $\gcd$ 。

那么问题转化为：区间加、区间求 $\gcd$ 。

直接解决这个问题比较困难。我们知道，$\gcd(a,b,c)=\gcd(a,b-a,c-b)$ ，即区间 $\gcd$ 等于 $l$ 位置的数与 $[l+1,r]$ 的差分数组的 $\gcd$ 。而区间加在差分数组上表现为单点加减，较容易维护。

因此对原数组求差分数组，修改时在差分数组上进行单点加减，查询时查询差分数组的前缀和及区间 $\gcd$ ，最大公约数即为答案。

时间复杂度 $O(n\log n)$ （求 $\gcd$ 的 $\log$ 在线段树pushup的过程中均摊掉了，因此只有一个 $\log$ ）

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
#define lson l , mid , x << 1
#define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1
using namespace std;
int a[N] , sum[N << 2] , val[N << 2];
inline int gcd(int a , int b)
{
	int t;
	while(b) t = a , a = b , b = t % b;
	return a;
}
inline void pushup(int x)
{
	sum[x] = sum[x << 1] + sum[x << 1 | 1] , val[x] = gcd(val[x << 1] , val[x << 1 | 1]);
}
void build(int l , int r , int x)
{
	if(l == r)
	{
		sum[x] = val[x] = a[l] - a[l - 1];
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(lson) , build(rson);
	pushup(x);
}
void update(int p , int a , int l , int r , int x)
{
	if(p > r) return;
	if(l == r)
	{
		sum[x] += a , val[x] += a;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) update(p , a , lson);
	else update(p , a , rson);
	pushup(x);
}
int qsum(int p , int l , int r , int x)
{
	if(l == r) return sum[x];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) return qsum(p , lson);
	else return qsum(p , rson) + sum[x << 1];
}
int qval(int b , int e , int l , int r , int x)
{
	if(b > e) return 0;
	if(b <= l && r <= e) return val[x];
	int mid = (l + r) >> 1 , ans = 0;
	if(b <= mid) ans = gcd(ans , qval(b , e , lson));
	if(e > mid) ans = gcd(ans , qval(b , e , rson));
	return ans;
}
int main()
{
	int n , m , i , opt, l , r , x;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]);
	build(1 , n , 1);
	while(m -- )
	{
		scanf("%d%d%d" , &opt , &l , &r);
		if(opt == 1) printf("%d\n" , abs(gcd(qsum(l , 1 , n , 1) , qval(l + 1 , r , 1 , n , 1))));
		else scanf("%d" , &x) , update(l , x , 1 , n , 1) , update(r + 1 , -x , 1 , n , 1);
	}
	return 0;
}