coderfoces446c (斐波那契数列)
题目描述:
区间增值,但是每一项增加的值为Fi - l + 1,F[i]为斐波那契数列,求区间和?
考虑线段树,刚开始想用斐波那契数列的前n项和,可是推不出来,考虑到每个区间的增值序列都是一段斐波那契数列,他们的和是否有什么特性呢?
发现如果前两项为a和b的话,那么,a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b;
a和b前的系数为斐波那契数列(后一项为前两项之和,
设F[k]表示以a,b开头的第k项的值,s[k]代表以a和b开头的前k项和
F[k]=a*f[k-2]+b*f[k-1];
F[1]=1*a+0*b;
F[2]=0*a+1*b;
F[3]=f[1]*a+f[2]*b;
F[4]=f[2]*a+f[3]*b;
F[k]=f[k-2]*a+f[k-1]*b;
pp[k]=1+0+f[1]+f[2]+f[3]+...f[k-2];
qq[k]=0+f[1]+f[2]+f[3]+...+f[k-1];
求和:
S[k]=a*pp[k]+b*qq[k];
这样只需要确定每个区间的a和b,长度可以计算出来,那么第k项可以求出来,前k项和也可以求出来;
维护每个区间的a和b的值,a和b作为标记。
写这道题是发现对标记的处理有了更深的理解:
标记会有那些操作呢?
1 位置,最下层的标记以下的节点没有被更新,最上层的标记以上全都被更新过,
也就是对于每一个标记来说,它没有更新它所在节点的子节点,更新了它所有的父节点。
2 标记在同一个区间可以累加(累加型标记)
3 标记传递时,子节点的值是由父节点的标记累计改变的,子节点的标记只是用来往下传的,所以子节点的标记值没有用。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define MOD 1000000009
using namespace std;
//线段树
//区间每点增值,求区间和
const int maxN = ;
struct node
{
int lt, rt;
int addA,addB;
LL val;
}tree[*maxN];
LL a[maxN];
int n,m;
LL f[maxN];
LL pp[maxN];
LL qq[maxN];
void init()
{
memset(f,,sizeof(f));
f[]=; f[]=;
pp[]=; pp[]=;
qq[]=; qq[]=;
for(int i=;i<maxN;i++)
{
f[i]=(f[i-]+f[i-])%MOD;
pp[i]=(pp[i-]+f[i-])%MOD;
qq[i]=(qq[i-]+f[i-])%MOD;
}
}
//向下更新
void pushDown(int id)
{
if (tree[id].addA != || tree[id].addB!=)
{
LL a,b;
int LeftLen= tree[id << ].rt - tree[id << ].lt +;
a=tree[id].addA; b=tree[id].addB;
tree[id<<].addA += a;
tree[id<<].addB += b;
tree[id<<].addA %=MOD;
tree[id<<].addB %=MOD;
tree[id<<].val += ( ( (pp[LeftLen]* a)%MOD + (qq[LeftLen] *b)%MOD )%MOD ) ;
tree[id<<].val %= MOD; int RightLen= tree[id << |].rt - tree[id << |].lt +;
a=( ( (tree[id].addA * f[LeftLen+ -] )%MOD + (tree[id].addB * f[LeftLen + -])%MOD ) %MOD );
b=( ( (tree[id].addA * f[LeftLen+- +])%MOD + (tree[id].addB * f[LeftLen + - +])%MOD )%MOD);
//a和b分别为第k项和第k+1项
tree[id<< |].addA +=a;
tree[id<< |].addB +=b;
tree[id << |].addA%=MOD;
tree[id << |].addB%=MOD;
tree[id<< |].val +=( ( (pp[RightLen] *a) %MOD + (qq[RightLen] *b)%MOD ) %MOD );
tree[id << |].val%=MOD;
tree[id].addA = ;
tree[id].addB = ;
}
} //向上更新
void pushUp(int id)
{
tree[id].val = ( (tree[id<<].val + tree[id<<|].val) %MOD);
} //建立线段树
void build(int lt, int rt, int id)
{
tree[id].lt = lt;
tree[id].rt = rt;
tree[id].val = ;//每段的初值,根据题目要求
tree[id].addA = ;
tree[id].addB = ;
if (lt == rt)
{
tree[id].val = a[lt];
return;
}
int mid = (lt+rt)>>;
build(lt, mid, id<<);
build(mid+, rt, id<<|);
pushUp(id);
} //增加区间内每个点固定的值
void add2(int lt, int rt, int id, int Left)
{
if (lt <= tree[id].lt && rt >= tree[id].rt)
{
int plsa= tree[id].lt - Left +;
int plsb= tree[id].lt - Left +;
tree[id].addA += f[plsa];
tree[id].addB += f[plsb];
tree[id].addA%=MOD;
tree[id].addB%=MOD;
LL a,b;
a=f[plsa]; b=f[plsb];
int Len= tree[id].rt - tree[id].lt + ;
tree[id].val +=( (a*pp[Len])%MOD + (b*qq[Len])%MOD )%MOD ;
tree[id].val %=MOD;
return;
}
pushDown(id);
//区间更新中最重要的lazy操作,把下次可能要查询的节点的标记更新到,然后只要不影响查询就好。
int mid = (tree[id].lt+tree[id].rt)>>;
if (lt <= mid)
add2(lt, rt, id<<, Left);
if (rt > mid)
add2(lt, rt, id<<|, Left);
pushUp(id);
} //查询某段区间内的和
LL query(int lt, int rt, int id)
{
if (lt <= tree[id].lt && rt >= tree[id].rt)
return tree[id].val;
pushDown(id);
//如果不pushdown的话,它的计算方式是记下沿途的标记,到达目的节点之后计算目的节点自上而下的标记之和;
//然后再加上本节点之前由自下而上的标记递推的来的和也就是tree.val(tree.val的含义就是只执行节点id及其子孙节点中的add操作,节点id对应区间中所有数之和)
//如果每次pushdown就可以把下次可能要查询的节点的标记更新到就好(tree.val的含义就是执行所有对节点id有影响的id操作,节点id对应区间中所有数之和)
int mid = (tree[id].lt+tree[id].rt)>>;
LL ans = ;
if (lt <= mid)
ans += query(lt, rt, id<<);
if (rt > mid)
ans += query(lt, rt, id<<|);
ans%=MOD;
return ans;
}
int main()
{
//freopen("test.txt","r",stdin);
init();
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
build(,n,);
for(int i=;i<=m;i++)
{
int c,l,r;
scanf("%d%d%d",&c,&l,&r);
if(c==)
{
add2(l,r,,l);
}
if(c==)
{
printf("%I64d\n",query(l,r,));
}
}
}
return ;
}
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