kalman滤波（二）---扩展kalman滤波[EKF]的推导

一.状态估计的解释

我们知道每个方程都受噪声的影响，这里把位姿x和路标y看成服从某种概率分布的随机变量。因此我们关心的问题就变成了：当我们已知某些运动数据u和观测数据z时，如何确定状态量x，y的分布？比较常见且合理的情况下，我们假设状态量和噪声项服从高斯分布---这意味着在程序中只需存储它们的均值和协方差即可。均值可看作是对变量最优值的估计，而协方差矩阵度量了它的不确定性。如果认为k时刻状态只与k-1时刻状态有关，而与再之前无关，我们就会得到以卡尔曼滤波（EKF）为代表的滤波器方法，在滤波方法综合那个，我们会将某时刻的状态估计，推导到下一时刻；另一种方法考虑k时刻状态与之前所有状态的关系，将得到以非线性优化为主体的优化框架。目前SLAM的主流是非线性优化方法。

二.EKF

[1] 卡尔曼滤波 -- 从推导到应用(一)

卡尔曼滤波 -- 从应用(一) 到 (二)

高斯分布，又称为正态分布：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

1.协方差的几何意义

样本方差的无偏估计可以通过以下方式获得（μ为期望，即均值）：

方差只能用来解释数据在与特征空间轴线平行的方向上的传播。图2所示的2d特征空间：

协方差：

协方差矩阵：，其中

二维正态分布数据完全由均值和2×2协方差矩阵来解释。类似地，一个3×3的协方差矩阵用于捕捉三维数据的传播，而n×n次协方差矩阵捕捉n维数据的传播。

前两个：协方差对称，最大方差方向与轴不重合，并且数据被旋转。

后两个：协方差为0，最大方差方向是轴对齐

2.特征值分解Eigendecomposition of a covariance matrix

3.Covariance matrix as a linear transformation

4.协方差矩阵的特征向量

协方差矩阵的特征向量的最直观的解释之一是，它们是数据变化最多的方向。（更准确地说，第一特征向量是数据变化最多的方向，第二特征向量是那些正交（垂直）到第一特征向量的最大方差的方向，第三个特征向量是与前两个正交的最大方差的方向，等等）。下面是2个维度的示例[ 1 ]：

每个数据样本是一个2维点，坐标x，y。这些数据样本的协方差矩阵的特征向量是向量u和v；u，长箭头，是第一特征向量，v，短箭头，是第二个。（特征值是箭头的长度），正如你所看到的，第一个特征向量点（从数据的平均值）到数据在欧氏空间中变化最大的方向，第二特征向量是正交的（垂直的）到第一个。

在3个维度中可视化有点困难，但这里有一个尝试[ 2 ]：

在这种情况下，假设所有的数据点都位于椭球内。V1，方向的数据变化最大，是第一特征向量（λ1是相应的特征值）。V2是在那些与V1正交的方向上数据变化最大的方向。V3是那些方向与V1和V2正交的最大方差方向（虽然只有一个这样的正交方向）。

[2]卡尔曼滤波原理及实现---介绍的详细，适合初学者；卡尔曼增益K解释的较好

http://www.tina-vision.net/docs/memos/2003-003.pdf

在求解卡尔曼增益的过程中：

对两个云团进行重叠，找到重叠最亮的点（实际上我们能够把云团看做一帧图像，这帧图像上面的每一个像素具有一个灰度值，灰度值大小代表的是该事件发生在这个点的概率密度），最亮的点，从直觉上面讲，就是以上两种预测准确的最大化可能性，也就是得到了最终的结果。非常神奇的事情是，对两个高斯分布进行乘法运算，得到新的概率分布规律仍然符合高斯分布，然后就取下图当中蓝色曲线峰值对应的横坐标不就是结果了嘛。证明如下：

σ2

N(x,μ,σ)=1σ2π−−√e−(x−μ)22σ2(4
如果存在两个这样的高斯分布，只不过期望和方差不同，当两个分布相乘，得到什么结果？

是不是下式成立：

注意：我这里铅笔书写的标注和上面博客中的是反的，只要按步骤推导还是容易理解的。

N(x,μ0,σ0)⋅N(x,μ1,σ1)=?N(x,μ′,σ′)(5