APIO2016赛艇

• 首先每个学校的边界范围是\(1e9\)，肯定不能直接\(dp[i][j]\)表示前i所学校，第\(i\)所学校派出\(j\)艘船，但\(b<=500\)所有考虑把\(a,b\)离散，第二维改为当前这个学校派出数量在那个区间里
• 转移的时候，如果前面所有的学校都不在此区间内，那贡献为\(\sum_{i'=1}^{i}\sum_{j'=1}^{j}dp[i'][j']\)
• 但是如果有学校要选在该区间内，问题便转化为在一段长度为len的区间内选出k个数，使他们递增，当然，有些数是可以不选的，该方案数为\(\sum_{i=0}^{k}C(k,k-i)*C(len,i)\),这个东西看起来一点都不好算,我们把这个式子化为\(C(len+k,k)\)
• 所以如果现在是第i个学校到第k个学校在此范围内，并且i,k学校强制选择，则方案数为\(C(i-k-1+len,i-k-1)\),贡献为\(\sum_{i'=i-1}^{1}C(len+i-i'-1,i-i'-1)\sum_{k=1}^{i'-1}\sum_{j'=1}^{j-1}dp[k][j']\)其中&j&是当前枚举的区间
• 对于每一段区间，\(len\)相同，所以我们在枚举区间是处理一下组合数，后面的两重循环用前缀和处理一下，时间复杂度\(O(n^3)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int sign;
typedef long long ll;
#define For(i,a,b) for(register sign i=(sign)a;i<=(sign)b;++i)
#define Fordown(i,a,b) for(register sign i=(sign)a;i>=(sign)b;--i)
const int N=500+5;
bool cmax(sign &a,sign b){return (a<b)?a=b,1:0;}
bool cmin(sign &a,sign b){return (a>b)?a=b,1:0;}
template<typename T>T read()
{
  T ans=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
  if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
  while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch-'0'),ch=getchar();
  return ans*f;
}
template<typename T>void write(T x,char y)
{
  if(x==0)
  {
      putchar('0');putchar(y);
      return;
  }
  if(x<0)
  {
      putchar('-');
      x=-x;
  }
  static char wr[20];
  int top=0;
  for(;x;x/=10)wr[++top]=x%10+'0';
  while(top)putchar(wr[top--]);
  putchar(y);
}
void file()
{
  #ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("3643.in","r",stdin);
      freopen("3643.out","w",stdout);
  #endif
}
int n,a[N],b[N],l[N<<1],tot;
void input()
{
	n=read<int>();
	For(i,1,n)
	{
		a[i]=read<int>(),b[i]=read<int>();
		l[++tot]=a[i],l[++tot]=b[i]+1;
	}
}
void init()
{
	sort(l+1,l+tot+1);
	tot=unique(l+1,l+tot+1)-l-1;
	For(i,1,n)
	{
		a[i]=lower_bound(l+1,l+tot+1,a[i])-l;
		b[i]=lower_bound(l+1,l+tot+1,b[i]+1)-l;
	}
}
const int mo=1e9+7;
int inv[N],dp[N],C[N];
void work()
{
	int len;
	inv[1]=1;For(i,2,n)inv[i]=1ll*(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;
	C[0]=dp[0]=1;
	For(i,1,tot-1)
	{
		len=l[i+1]-l[i];
		For(i,1,n)C[i]=1ll*C[i-1]*(len+i-1)%mo*inv[i]%mo;
		Fordown(j,n,1)if(a[j]<=i&&i+1<=b[j])
		{
			int f=0,pos=1,c=len;
			Fordown(k,j-1,0)
			{
				(f+=1ll*dp[k]*c%mo)%=mo;
				if(a[k]<=i&&i+1<=b[k])c=C[++pos];
			}
			(dp[j]+=f)%=mo;
		}
	}
	int ans=0;
	For(i,1,n)(ans+=dp[i])%=mo;
	write(ans,'\n');
}
int main()
{
	file();
	input();
	init();
	work();
	return 0;
}