2018.12.14 codeforces 932E. Team Work（组合数学）

传送门

组合数学套路题。

要求ans=∑i=0nCni∗ik,n≤1e9,k≤5000ans=\sum_{i=0}^n C_n^i*i^k,n\le 1e9,k\le 5000ans=∑i=0n​Cni​∗ik,n≤1e9,k≤5000

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这道题需要用到一个组合数的公式：nk=∑i=0ns2{k,i}Anin^k=\sum_{i=0}^ns_2\{k,i\}A_n^ink=∑i=0n​s2​{k,i}Ani​

证明可以用组合意义：相当于是把k个不同的球放入k个不同的盒子里（每个盒子个数任意）的方案数等于先枚举使用盒子的个数i，然后把n个球分进i个盒子，然后给盒子编号。

所以原式=∑i=0nCni∗∑j=0ks2{k,j}Aij=\sum_{i=0}^nC_n^i*\sum_{j=0}^ks_2\{k,j\}A_i^j=∑i=0n​Cni​∗∑j=0k​s2​{k,j}Aij​

=∑i=0n∑j=0ks2{k,j}AijCni=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ks_2\{k,j\}A_i^jC_n^i=∑i=0n​∑j=0k​s2​{k,j}Aij​Cni​

=∑j=0ks2{k,j}∑i=0kCniAij=\sum_{j=0}^ks_2\{k,j\}\sum_{i=0}^kC_n^iA_i^j=∑j=0k​s2​{k,j}∑i=0k​Cni​Aij​

然后又是套路，把后面一个求和公式用组合意义化简：

∑i=0nCniAij\sum_{i=0}^nC_n^iA_i^j∑i=0n​Cni​Aij​相当于先从n个数中选出来i个数来组合再从i个数中选出j个数来排列，注意这个地方j是定值。

那么从总体思考，相当于就是从n个数中选出了j个数来排列，剩下的n−jn-jn−j个数都可选可不选。

所以有：∑i=0nCniAij=Anj2n−j\sum_{i=0}^nC_n^iA_i^j=A_n^j2^{n-j}∑i=0n​Cni​Aij​=Anj​2n−j

所以推出原式=∑j=0ks2{k,j}Anj2n−j=\sum_{j=0}^ks_2\{k,j\}A_n^j2^{n-j}=∑j=0k​s2​{k,j}Anj​2n−j

至此，已经可以O(n2)O(n^2)O(n2)求出答案了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int mod=1e9+7,K=5e3+5;
typedef long long ll;
int ans=0,n,k,s2[K][K],up;
inline void init(){
	s2[1][1]=1,up=min(n,k);
	for(ri i=2;i<=k;++i)for(ri j=1;j<=i;++j)s2[i][j]=((ll)s2[i-1][j-1]+(ll)s2[i-1][j]*j%mod)%mod;
}
inline int ksm(int a,int p){int ret=1;for(;p;p>>=1,a=(ll)a*a%mod)if(p&1)ret=(ll)ret*a%mod;return ret;}
inline int A(int n,int m){int ret=1;for(ri i=n-m+1;i<=n;++i)ret=(ll)ret*i%mod;return ret;}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k),init();
	for(ri i=1;i<=up;++i)(ans+=(ll)s2[k][i]*A(n,i)%mod*ksm(2,n-i)%mod)%=mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}