P6357 题解

Luogu 题面

题目描述

给定一串长度为 \(n\) 的数字，数字为 \(0 \sim 9\) 之间的任意一个，下标从 \(1\) 记起。

然后进行 \(m\) 次区间查询，每次查找区间 \([l, r]\) 的区间和，并在查询结束后将区间里的每一个数都 $ + 1$。特殊地，如果 $ + 1$ 前的数字为 \(9\)，那么 $ + 1$ 之后就变成了 \(0\)。

输出每次查询的区间和。

题目分析

使用支持区间加和区间求和的数据结构即可。在这里使用分块和线段树。

分块

跑的飞快。

\(9 + 1 \to 0\) 这个限制非常的难搞。然而我们发现一共只有十个数字，因此不管怎么暴力搞都是没问题的（大不了乘个大常数）。

在每个块内维护以下信息：当前块内 \(1 \sim 9\) 每个数出现的次数（\(cnt_i\)），当前块的懒标记（\(add\)）。那么一个块内的区间和就是：

\[sum = \sum_{i \in [0, 9]} cnt_i \times [(i + add) \mod 10]
\]

代码示例如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

using LL = long long;
using PII = pair<int, int>;
using PLL = pair<LL, LL>;

const int N = 250010, M = (int)sqrt(N) + 20;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, len, w[N];
struct Block {
	int l = INF, r = -INF, add;
	int cnt[10];
}b[M];

int get(int x) {
	return (int)x / len;
}

void change(int k, int &x) {
	b[k].cnt[x] -- ;
	b[k].cnt[(x + 1) % 10] ++ ;
	x = (x + 1) % 10;
}

void modify(int l, int r) {
	int lc = get(l), rc = get(r);
	if (lc == rc) {
		for (int i = l; i <= r; i ++ )
			change(lc, w[i]);
		return;
	}
	for (int i = l; i <= b[lc].r; i ++ ) change(lc, w[i]);
	for (int i = r; i >= b[rc].l; i -- ) change(rc, w[i]);
	for (int i = lc + 1; i <= rc - 1; i ++ )
		b[i].add = (b[i].add + 1) % 10;
}

int query_block(int k) {
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= 9; i ++ )
		ans += b[k].cnt[i] * ((i + b[k].add) % 10);
	return ans;
}

int query(int l, int r) {
	int lc = get(l), rc = get(r);
	int ans = 0;
	if (lc == rc) {
		for (int i = l; i <= r; i ++ )
			ans += (w[i] + b[lc].add) % 10;
		return ans;
	}
	for (int i = l; i <= b[lc].r; i ++ ) ans += (w[i] + b[lc].add) % 10;
	for (int i = r; i >= b[rc].l; i -- ) ans += (w[i] + b[rc].add) % 10;
	for (int i = lc + 1; i <= rc - 1; i ++ )
		ans += query_block(i);
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m); len = (int)sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%1d", &w[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
    	b[get(i)].l = min(b[get(i)].l, i);
    	b[get(i)].r = max(b[get(i)].r, i);
    	b[get(i)].cnt[w[i]] ++ ;
	}

	while (m -- ) {
		int l, r;
		scanf("%d%d", &l, &r);
		printf("%d\n", query(l, r));
		modify(l, r);
	}

	return 0;
}

单次询问复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)，空间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)

线段树

思路与分块相同，即在每一个节点维护每个数出现的次数。注意 pushup 和 pushdown 的处理。

单次询问复杂度 \(O(\log n)\) 明显快于分块。空间复杂度 \(O(n)\) 略劣。

代码示例如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 250010;

int w[N], n, m;
struct Tree {
    int l, r;
    int sum, add;
    int cnt[10];
}tr[N << 2];
#define ls u << 1
#define rs u << 1 | 1

void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
    for (int i = 0; i <= 9; i ++ )
        tr[u].cnt[i] = tr[ls].cnt[i] + tr[rs].cnt[i];
}

void push(int u, int k) { // 这里需要注意
	tr[u].add += k;
    while (k -- ) {
        for (int i = 9; i; i -- )
            swap(tr[u].cnt[i], tr[u].cnt[i - 1]);
    }
    tr[u].sum = 0;
    for (int i = 1; i <= 9; i ++ )
        tr[u].sum += tr[u].cnt[i] * i;
}

void pushdown(int u) {
    if (tr[u].add) {
        tr[u].add %= 10;
        push(ls, tr[u].add);
        push(rs, tr[u].add);
        tr[u].add = 0;
    }
}

void build(int u, int l, int r) {
    tr[u] = {l, r};
    if (l == r) {
        tr[u].sum = w[r];
        tr[u].cnt[w[r]] ++ ;
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
    pushup(u);
}

void modify(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r)
        return (void)push(u, 1);
    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (l <= mid) modify(ls, l, r);
    if (r > mid) modify(rs, l, r);
    pushup(u);
}

int query(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r)
        return tr[u].sum;
    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1, sum = 0;
    if (l <= mid) sum += query(ls, l, r);
    if (r > mid) sum += query(rs, l, r);
    return sum;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	    scanf("%1d", &w[i]);

    build(1, 1, n);

    while (m -- ) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", query(1, l, r));
        modify(1, l, r);
    }
    return 0;
}