厄拉多塞筛法的 Python 实现以及复杂度计算

想要得到一个不大于N的数所有素数，可以先找到不超过根号N的所有素数，设2 = p1 < p2 < ......<pk ≤√N，然后在2,3,4......N里面进行下面的操作：

留下p1 = 2，把p1的倍数全部划掉，

再留下p2 ，把p2 的倍数全部划掉，

继续这一过程，直到留下 \(p_k\)，把 \(p_k\) 的倍数全部划掉，

最后留下来就是不超过N的全体素数。

样例

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剩余的数就是小于等于30的所有素数，即 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

Python 实现

算法思想来自于上面的介绍，但是并不是严格遵循上面的步骤：

def eladuosai(n):
    l = list(range(1,n+1))
    l[0] = 0
    for i in range(2,n+1):
        if l[i-1] != 0 :
            for j in range(i*2,n+1,i):
                l[j-1] = 0
    result = [x for x in l if x != 0]
    return result

求小于等于N的所有素数的普通算法：

def sushu(n):
    result = []
    for x in range(2,n+1):
        for y in range(2,x):
            if x % y == 0:
                break
        else:
            result.append(x)
    return result

时间对比，使用timeit模块测试两个方法的时间，当取n为10000的时候有如下结论：

t1 = timeit.Timer('sushu(10000)',setup='from __main__ import sushu')
t2 = timeit.Timer('eladuosai(10000)',setup='from __main__ import eladuosai')
print('厄拉多塞筛法的时间 ',t2.timeit(1))
print('普通函数的时间 ： ',t1.timeit(1))

厄拉多塞筛法的时间 0.005523548190824634

普通方法的时间 ： 0.7220688150193577

可以看出厄拉多塞筛法的运行时间比普通方法的时间要少很多。

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厄拉多塞筛法的时间复杂度

O(NloglogN)数的是算术运算的次数。当N很大时，每个算术运算不一定在常数个指令周期内完成。不妨假设算术运算的时间复杂度是O(logN)，也就是存储N所需要的空间。

此时厄拉多塞筛法的时间复杂度是O(NloglogN) * O(logN) = O(NlogNloglogN)。

而这个loglogN又是怎么来的呢？厄拉多塞筛法找到k的时候需要标记O(N/k)个数为合数。因此一共需要

标记 \(\sum_{p\le N}\frac{N}{p} = N*\sum_{p\le N}\frac{1}{p}\) 次，其中p <= N表示所有小于等于N的素数。这就是N乘以小于等于N的素

数的倒数之和。

右边是O(N)*O(loglogN) = O(NloglogN)的。