【构造，图论，建模】Loj3629「2021 集训队互测」序列

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有一个长为 \(n\) 的未知序列，给定 \(m\) 个限制，每个限制形如给定 \(i,j,k,x\)，要求 \(a_i,a_j,a_k\) 的中位数为 \(x\)。构造一个符合条件的序列或输出无解。

\(n,m\le 10^5\)。

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首先这是一个 3-SAT 问题，不知道怎么能想到要转化成 2-SAT 问题。

事实上，\(a_i,a_j,a_k\) 的中位数为 \(x\)，可以转化成以下 2 种条件：

• 若 \(a_i>x\)，则 \(a_j,a_k\le x\)，以及对称的几个限制；

• 若 \(a_i<x\)，则 \(a_j,a_k\ge x\)，以及对称的几个限制。

考虑这两条限制怎么体现。事实上，学习最小割“切糕”的方法，对每个 \(i\) 弄一条长为 \(10^9\) 的链，然后若 \(a_i\ge x\) 则选 \((i,x)\) 为真，那么以上的 \(<,>,\le,\ge\) 都是可以表示的。

建出图跑 2-SAT 即可。时间复杂度 \(O(n)\)。