POJ 3744 Scout YYF I(矩阵快速幂优化+概率dp)
http://poj.org/problem?id=3744
题意:
现在有个屌丝要穿越一个雷区,雷分布在一条直线上,但是分布的范围很大,现在这个屌丝从1出发,p的概率往前走1步,1-p的概率往前走2步,求最后顺利通过雷区的概率。
思路:
首先很容易能得到一个递推式:$dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2]$。但是直接递推肯定不行,然后我们发现这个很容易构造出矩阵来,但是这样还是太慢。
接下来讲一下如何优化,对于第i个雷,它的坐标为x[i],那么那顺利通过它的话,只能在x[i]-1的位置走2步。
观察上图,可以发现每次起点就相当于是雷后面的一个格子,这样的话我们就可以分块处理(有多少雷就分多少块),先计算出起点到雷的概率y,那么1-y就是顺利通过这块的概率。最后乘法原理乘起来即可。
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#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=+; int n;
double p, ans;
int x[]; struct Matrix
{
double mat[][];
Matrix()
{
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++)
mat[i][j]=;
}
Matrix operator* (const Matrix& b) const
{
Matrix c;
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++)
for(int k=;k<;k++)
c.mat[i][j]+=mat[i][k]*b.mat[k][j];
return c;
}
}base; Matrix q_pow(Matrix base, int n)
{
Matrix res;
res.mat[][]=res.mat[][]=;
while(n)
{
if(n&) res=res*base;
base=base*base;
n>>=;
}
return res;
} int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
while(~scanf("%d%lf",&n,&p))
{
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&x[i]);
sort(x+,x+n+);
base.mat[][]=p;
base.mat[][]=-p;
base.mat[][]=;
base.mat[][]=;
ans=;
Matrix tmp=q_pow(base, x[]-);
ans*=(-tmp.mat[][]);
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(x[i]==x[i-]) continue;
tmp=q_pow(base, x[i]-x[i-]-);
ans*=(-tmp.mat[][]);
}
printf("%.7f\n",ans);
}
return ;
}
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