一条长为L的绳子，一面靠墙，另外三边组成矩形，问此矩形最大面积能是多少？

靠墙的两边设为x，墙的对边设为y，有2x+y=L;

则y=L-2x,

矩形面积函数为xy=x(L-2x)=-2x²+xL,即f(x)=-2x²+xL

这时就是求二次函数的极值问题了。

按二次函数y=ax²+bx+c的最值定义，当a<0时，当x=-b/2a时，有最大值y_max=（4ac-b²）/4a.（注意这一行的xy是二次函数定义里的xy，不是文中2x+y=L中的xy）

所以，当x=-b/2a=L/4,y=L/2时，三边围成的最大矩形面积为L²/8.

另外，也可以由微分得出上述结论，因f(x)=-2x²+xL，那么有导数f'(x)=-4x+L

导数是函数的切线，当切线平行于x轴时函数有极值，所以当f'(x)=0时，即x=L/4时，f(x)=-2x²+xL达到它的最大值L²/8.

2017年12月22日