Monty Hall悖论

Monty Hall悖论又称为蒙提·霍尔悖论、三门问题。Monty Hall是上个世纪60年代，电视游戏节目“Let's Make a Deal”的主持人，这个悖论便是以他的名字来命名的。节目的规则是这样的：

Monty向你展示三个关闭的大门，其中一扇门背后有一辆车，另两扇门背后是一头山羊。

[1]

参与节目的观众会穿着奇装异服，希望Monty能够选中自己。

首先你可以任意选择一扇门，当然你有1/3的概率选中背后有车的门。

这时Monty会打开另一扇，他知道后面没有车（这是一个极其需要注意的细节），并询问你是否需要改变你的选择。

Monty知道那扇门背后有车，你认为他是设计让你没法得到车，还是在帮你呢？这时台下的观众也会乱作一团，各自嚷嚷着自己的猜想。

到底应该坚持自己最初的选择，还是改变自己的选择呢，如果你是在考试结束的前一分钟，我想你应当坚持自己的选择。

作为聪明的你，如果你一开始胡乱动用自己的情感，你就已经输了。要想得到正确的结论，必须依靠理性。

1 分析所有可能发生的情况

一开始，如果不知道开始从哪儿开始思考，不妨假设所有可能发生的情况。

不失一般性，假设车出现在1号门后

你选择了1号门，Monty会随机打开2号或3号门，这时应坚持自己的选择选择

你选择了2号门，1号门背后有车，Monty只能打开3号门，这是应该改变自己的选择

你选择了3号门，根选择2号门的情况完全相同

[2]

你看，1/3的情况坚持自己的选择能够得到车，2/3的情况改变自己的选择能够得到车

所以你应当改变自己的选择

2 使用随机变量分析

要使用概率论来分析，最重要的是明确随机变量是什么。你必须以第三者视角俯视这个问题，

车的位置一定是随机的，你的选择也是随机的，Monty的选择呢，有时他迫不得已只有一个选择，有时他有可以从两扇门里，随意选择一张，所以还是随机的

假设，随机变量X代表你的选择、随机变量Y代表Monty打开的门、随机变量Z代表真实车的位置

三个随机变量的取值，均为A、B或C，代表三扇门

还有，随机变量X与随机变量Z是相互独立的，因为你不知道车在哪

问题应当描述成，你选择了门A，Monty打开了门B，求车位于门C的概率，也就是改变选择得到车的概率。并没有失去一般性

得出的结果是，2/3的概率改变你的选择能够得到车

3 计算机仿真

如果你对概率没有兴趣，认为概率虚无缥缈，仍然有办法可以解救你，那就是计算机仿真。这里会使用Python编程语言，来模拟这一过程。

你只需要用三个随机数，模拟上一种方法说明的三个随机变量，然后统计坚持选择得到车和改变选择得到车的次数就能得到分布。

def montyChoose(guessDoor, prizeDoor):
    if 1 != guessDoor and 1 != prizeDoor:
        return 1
    if 2 != guessDoor and 2 != prizeDoor:
        return 2
    return 3

此函数用于模拟Monty的选择，一个简单的逻辑就是，Monty只能选你没有选的门，同时又没有车的门

def simMontyHall(numTrials):
    stickWins, switchWins, noWin = (0, 0, 0)
    for t in range(numTrials): #进行numTrails次实验
        prizeDoor = random.choice([1, 2, 3]) #随机生成车所在的门
        guess = random.choice([1, 2, 3]) #随机生成你的选择
        toOpen = montyChoose(guess, prizeDoor)
        if toOpen == prizeDoor: #模拟Monty的选择 这种情况并不会发生
            noWin += 1
        elif guess == prizeDoor:
            stickWins += 1
        else:
            switchWins += 1
    return (stickWins, switchWins)

将函数返回的结果画成饼状图

得到的结果和上面仍然是一致的。

在最开始介绍节目的游戏规则时，我特意强调了，Monty知道车的位置很重要，Monty会避开选中车

如果Monty并不知道车在哪，随机打开一个门呢，这时他有可能自己打开背后有车的门，但并不会直接打开你选择的门

修改一下上面的选择函数为随机选择，就可以模拟这种新的情况

def randomChoose(guessDoor, prizeDoor):
    if guessDoor == 1:
        return random.choice([2,3])
    if guessDoor == 2:
        return random.choice([1,3])
    return random.choice([1,2])

这样，不论你是否修改你的选择，并没有区别

全部代码：

import pylab
import random

def montyChoose(guessDoor, prizeDoor):
    if 1 != guessDoor and 1 != prizeDoor:
        return 1
    if 2 != guessDoor and 2 != prizeDoor:
        return 2
    return 3

def randomChoose(guessDoor, prizeDoor):
    if guessDoor == 1:
        return random.choice([2,3])
    if guessDoor == 2:
        return random.choice([1,3])
    return random.choice([1,2])

def simMontyHall(numTrials, chooseFcn):
    stickWins, switchWins, noWin = (0, 0, 0)
    prizeDoorChoices = [1,2,3]
    guessChoices = [1,2,3]
    for t in range(numTrials):
        prizeDoor = random.choice([1, 2, 3])
        guess = random.choice([1, 2, 3])
        toOpen = chooseFcn(guess, prizeDoor)
        if toOpen == prizeDoor:
            noWin += 1
        elif guess == prizeDoor:
            stickWins += 1
        else:
            switchWins += 1
    return (stickWins, switchWins)

def displayMHSim(simResults, title):
    stickWins, switchWins = simResults
    pylab.pie([stickWins, switchWins],
              colors = ['r', 'c'],
              labels = ['stick', 'change'],
              autopct = '%.2f%%')
    pylab.title(title)

simResults = simMontyHall(100000, montyChoose)
displayMHSim(simResults, 'Monty Chooses a Door')
pylab.figure()
simResults = simMontyHall(100000, randomChoose)
displayMHSim(simResults, 'Door Chosen at Random')
pylab.show()

[3]

十分感谢，MIT的计算机编程导论公开课，他为我打开了新的一扇门

如果想更深入了解这个问题，或是想具体了解如何用计算机模拟其他的问题，可以阅读《编程导论》，那门公开课的教材最近被翻译成了中文。

决战21点，我最喜欢的电影之一，Micky教授就是通过这个问题，发现Ben在数学上面的天赋的。

（右键选择播放）

脑袋跟不上来哇，我希望你明白了我的解释。

参考资料:

[1-2] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

[3] John V. Guttag. Introduction to Computation and Programming Using Python. The MIT Press. 2013.