羊和汽车问题（或s三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题）

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

如果严格按照上述的条件的话，答案是会—换门的话，赢得汽车的机率是2/3。

这条问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？

以上叙述是对Steve Selvin于1975年2月寄给American Statistician杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给Selvin的信中所写：

如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。
—(letsmakeadeal.com)

Selvin在随后寄给American Statistician的信件中（1975年8月）首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。

一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。

这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。

Mueser和Granberg透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述：

• 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
• 主持人知道每扇门后面有什么。
• 主持人必须开啓剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
• 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
  • 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
  • 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机（概率均匀分布）在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
• 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

转换选择可以增加参赛者的机会吗？

解法一

问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰（从参赛者的角度考虑,车,羊1，羊2）

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

“参赛者挑汽车，主持人挑羊一号。转换将失败”，和“参赛者挑汽车，主持人挑羊二号。转换将失败。”此情况的可能性为：1/3*1/2+1/3*1/2=1/3。

解法二

另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

 

一问题的关键在于主持人，因为他总会挑一扇后面没有奖品（汽车）的门。游戏秀的调查数据显示，那些改选的参赛选手赢的几率是那些没有改选的人的两倍，这证实了莎凡特在其第三篇专栏中的解释：“当你从三扇门中选了门1后，这扇门后面有奖的几率是1/3，另两扇门是2/3.但接下来主持人给了你一个线索。如果奖品在门2后，主持人将会打开门3；如果奖品在门3后，他会打开门2。所以如果你改选的话，只要奖品在门2或门3后你就会赢，两种情况你都会赢！但是如果你不改选，只有当奖品在门1后你才会赢。

 

转换一下,更容易理解: 现在有甲乙2个参赛者,甲选1个门,他中车的机会是1/3,乙选剩下2个门,他中车的机会是2/3,这个你完全同意吧?现在万能的主持人帮乙去掉一个没有车的门,他中车的机会还是2/3吧,那甲是不是应该和乙换?

 

三门问题是多门问题里最难的情况。如果把三门变成千门，参赛者第一次就选中的概率就是1/1000，参赛者就会清楚自己是在猜，而不是如同三门的时候1/3的概率认为自己是对的。这样，当主持人关闭剩下999扇门中的998扇时，该如何选择，认真思考就会比三门的时候清晰很多。

   这个问题到这里本来应该结束了，但还有一点疑问：为什么主持人打开一扇羊门会改变选择的几率？其实道理很简单，几率本身是没有变的，只是因为主持人在打开门时就有一个选择。这导致了可能的情况减少。
    还想不清楚的话可以看看这样一个问题，这个问题也是由于看似没有影响的条件发生改变而导致概率的变化：说左右各一个人，已知两个人中至少有一个女的，问右边那个是女的的概率是多少？下面给出一个条件：同样两个人中至少有一个女的，现在告诉了你左边那个是女的，那么现在右边那个是女的的概率又是多少？有变化吗？既然至少有一个女的，那么说了左边那个是女的为什么概率也会跟着变呢？
    Monty Hall Dilemma问题传到中国来要稍微晚一些，但也在各大论坛上引起争论。Monty Hall Dilemma这个名字的中文翻译有很多，多数都比较直观，如“羊与车问题”。对这个问题的分析在网上很多地方都有仔细的讲解，到处都找得到。这也是本文着重在介绍这个问题的提出和发展史的原因。

http://www.matrix67.com/blog/archives/73

http://www.matrix67.com/blog/archives/136

 

三囚犯问题：

一个监狱看守从三个罪犯中随机选择一个予以释放，其他两个将被处死。警卫知道哪个人是否会被释放，但是不允许给罪犯任何关于其状态的信息。让我们分别称罪犯为X，Y，Z。罪犯X私下问警卫Y或Z哪个会被处死，因为他已经知道他们中至少一个人会死，警卫不能透露任何关于他本人状态的信息。警卫告诉X，Y将被处死。X感到很高兴，因为他认为他或者Z将被释放，这意味着他被释放的概率是1/2。他正确吗？或者他的机会仍是1/3？请解释。

1/3.

更深：

http://montyhallproblem.com/

在线玩：

http://www.math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html

 

[扑克牌概率题]之解答

4 个人分牌，54 张扑克牌，除去两张大小王剩下 52 张扑克牌。问红桃 A 和黑桃 A 同时被一个人拿到的概率是多少？

1. 解法一：
红桃 A 肯定被某个人拿着，这样放黑桃 A 的时候拿着红桃 A 的人那里只能放 12 张牌了，而另外三个人那里都可以放 13 张，所以是 (13-1)/(52-1)=12/51

2. 解法二：
C(50,11)*C(39,13)*C(26,13)        12
-------------------------- * 4 = --
C(52,13)*C(39,13)*C(26,13)        51