华山论剑（没有上司的舞会）——树形dp

华山论剑（没有上司的舞会）

题目描述

一日，小策如往常一般打开了自己的传奇，刚上线不久，就收到了帮主的私信。原来帮派里要召开一次武功比拼，让他来邀请各帮派人员，因为有些侠客还是萌新，所以需要小策挨个选取战力高的侠客。

本帮派——华山，实行了师徒制，每位侠客都有自己的师傅，师傅也有自己的师傅，一直到本帮派帮主。

每位侠客都有自己的战力，因为本次比拼会在全区直播，大家肯定愿意看更加激烈的战斗，所以肯定是战力越高越好。

但是还有一个要求，当邀请了一位侠客的师傅的时候，便不能再邀请那位侠客了。

请你帮助小策来计算，邀请哪些侠客可以使武会的战力总和最大，求最大的战力总和。

注：并不是师傅的战力一定比徒弟高，也有“青出于蓝而胜于蓝”的情况，但是师徒关系是不变的。

为了便于计算，我们将每位侠客表上编号 \(（1...n）\) 。

输入格式

第 \(1\) 行是一个整数 \(n\) ,表示有 \(n\) 个侠客；\(（1\leq n\leq 6000）\)

第 \(2\) 行到第 \(（n+1）\) 行，每行一个整数，第 \(（i+1）\) 行的整数表示第 \(i\) 号侠客的战力值 \(r (-128\leq r\leq 127)\) （这里你们可能会疑惑了，但是玩游戏怎么不会有个坑逼呢，拉低全员战力）

第 \(（n+2）\) 行到第 \(（2n+1）\) 行，每行输入一堆整数 \(x\)，\(y\)，表示 \(y\) 是 \(x\) 的师傅

最后一行输入 \(0,0\)

输出格式

输出一行一个整数代表最大的战力总和

样例

样例输入

3
52
42
36
1 3
3 2
0 0

样例输出

94

基本思路

根据题目判断，由于有徒弟师傅这种关系，可以讲整个帮派看成一整颗树，帮主便是树根，每位侠客的战力值便是每个树节点的权值，现在就可以判断整个题就是对树形 \(dp\) 的考察。

但是与常规树形 \(dp\) 不同的是，这个题有个限制条件，便是：父节点被选中时，他的子节点便不能被选中了。

如果说仅仅定义一个一维的 \(dp[i]\) ，无法进行限制条件的判断。

所以，需要定义一个二维的 \(dp[i][j]\) ，表示的是以 \(i\) 为根节点的子树，\(i\) 去不去时的最大战力值，\(j\) 表示 \(i\) 去不去的状态，\(j=1\) 便是 \(i\) 去，\(j=0\) 便是 \(i\) 不去。

那么状态转移方程便可以得出：

师傅来，徒弟不能来。师傅不来，徒弟就能来。所以，决策便是师傅到底来不来，即对 \(dp[i][j]\) 中的 \(j\) 讨论取 \(1\) 还是取 \(0\) 了。

for(int i=head[now];i;i=e[i].next){
      dp[now][flag]+=dfs(e[i].to,!flag);
}

剩下的就注意有负的战力值，初始化的时候就需要注意一下。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10000+50;
struct Edge{
	int next;
	int to;
}e[maxn];
int dp[maxn][2];
int a[maxn];
int in[maxn];
int head[maxn];
int cnt=0;
int n,x,y,root;
void insert(int u,int v){
	e[++cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
	e[cnt].to=v;
	in[v]++;
}
int dfs(int now,bool flag){
	if(!head[now]){
		if(flag){
			return a[now];
		}else{
			return 0;
		}
	}
	for(int i=head[now];i;i=e[i].next){
		dp[now][flag]+=dfs(e[i].to,!flag);
	}
	return dp[now][flag];
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i][1]=max(a[i],0);
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		insert(y,x);
	}
	scanf("%d%d",&x,&y);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!in[i]){
			root=i;
			break;
		}
	}
	dfs(root,0);
	dfs(root,1);
	cout<<max(dp[root][0],dp[root][1])<<endl;
	return 0;
}