Codeforces 1485F Copy or Prefix Sum

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题目大意

给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(bi\)

问有多少个长度为 \(N\) 的序列 \(a\) 使得

• \(b[i] = a[i]\)

或

• \(b[i] = ∑a[j] , j∈[1,i]\)

解题思路

定义 $dp[i][j] $ 表示前 \(i\) 项的前缀和为 \(j\) 的序列 \(a\) 的个数，其中 \(dp[0][0] = 1\)

( 因为前缀和很大，所以需要用 \(map\) 来操作 )

那么：

1. 当 \(b[i] = a[i]\) 时 , \(dp[i][j] = dp[i - 1][j - b[i]]\)

2. 当 \(b[i] = ∑a[j] , j∈[1,i]\) 时 , \(dp[i][b[i]] = ∑dp[i - 1][j],j∈[-inf,inf]\)

对于第一种转移相当于把整个数组的值向右平移 \(b[i]\)

对于第二种转移需要注意当 \(sum[i-1] = 0\) 时，\(b[i]\) 既等于 \(a[i]\) 又等于 \(∑a[j] , j∈[1,i]\)

相当于多转移了一次 \(dp[i - 1][0]\) ，所以需要减去 \(dp[i - 1][0]\)

最后的答案 \(ans = ∑dp[n][j],j∈[-inf,inf]\) ，复杂度为 \(N^2logN\) ( \(log\) 的复杂度源于 \(map\) )

考虑优化：

定义 \(sum[i]\) 表示长度为 \(i\) 且满足题目条件的序列 \(a\) 的个数

对于第一种转移，只是把数值向右平移，并不会导致答案的个数增加，所以 \(sum[i] = sum[i - 1]\)

对于第二种转移，\(dp[i][b[i]] += sum[i - 1]\) , 同时减去 \(dp[i - 1][0]\) ，相当于 \(sum[i] += sum[i - 1] , sum[i] -= dp[i - 1][0]\)

于是我们可以定义 \(py\) 表示平移的长度，起初 \(py = 0\)，每计算完 \(sum[i]\) 后 , 令 \(py += b[i]\)

那么 \(dp[i - 1][j]\) 则可以用 \(dp[j - py]\) 表示

而 \(dp[i][j]\) 则可以用 \(dp[j - py - b[i]]\) 表示

于是可得 \(sum[i] += sum[i - 1] - dp[0 - py]\) , \(dp[b[i] - py - b[i]] += sum[i - ] - dp[0 - py]\)

最后的答案 \(ans = sum[n]\) , 复杂度为 \(NlogN\)

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

const int N = 3e5 + 10 , mod = 1e9 + 7;

map<int , int>dp;

int b[N];

signed main()
{
	int T = 1;

	cin >> T;

	while(T --)
	{
		dp.clear();

		int n , sum = 1 , py = 0;

		cin >> n;

		for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> b[i];	

		dp[0] = 1;

		for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		{
			int add = (sum - dp[0 - py] + mod) % mod;

			sum = (sum + add) % mod , py += b[i];

			dp[b[i] - py] = (dp[b[i] - py] + add) % mod;
		}

		cout << sum << '\n';
	}

	return 0;
}