P5785 [SDOI2012]任务安排
本题解用于本蒟蒻加深算法印象,也欢迎大家阅读
本篇题解将分为四块,一步一步地讲解本题,
Part 1: O(n^3)
\(n^3\) 算法应该非常的显然,我们设 \(f_{i,j}\) 为到 \(i\) 个任务,分为 \(j\) 个批次所使用的最少时间,易得转移方程为:
f_{i,j}=min(f_{k,j-1}+(sumt_i+s*j)*(suma_i-suna_k))\\
(0\le k<i)
\end{array}
\]
但是这个复杂很明显是过不了的( \(O(n^2)\) 都过不了,这还想过???),所以我们考虑优化。
Part 2: O(n^2)
因为每一个前面的 \(s\) 是每次会对后面的动态规划产生影响的,所以我们考虑在设计状态的时候就将 \(s\) 考虑进去,即 \(f_i\) 表示到第 \(i\) 个点,前面 \(i\) 个点的实际用时与 \(s\) 对于后面的影响值的和最小值,这个思想叫做费用提前,我们可以结合状态转移方程来一起食用:
f_i=min(f_j+sumt_i*(suma_i-suma_j)+s*(suma_n-suma_j)\\
(0\le j<i)
\end{array}
\]
看上去好像没什么问题,最优子结构是成立的,这个复杂度是 \(O(n^2)\) 。
Part 3: O(n)
来到今天的重头戏——斜率优化。
我们可以先看看这题的弱化版。转移方程和题目大意是一模一样的,唯一的不同点是 \(t_i\) 是非负的。
对于上面的状态的转移方程,我们进行一些移项:
f_i=min(f_j+sumt_i*(suma_i-suma_j)+s*(suma_n-suma_j)\\
\\
f_i=f_j+sumt_i*suma_i-sumt_i*suma_j+s*suma_n-s*suma_j\\
\\
f_j=(sumt_i+s)*suma_j+f_i-sumt_i*suma_i-s*suma_n
\end{array}
\]
此时,如果我们将 \(suma_j\) 看作自变量, \(f_j\) 看作因变量,对于每一个 \(i\) , \(sumt_i\),\(suma_i\),\(suma_n\),\(s\)又都是定值,我们可以将这个式子看作一个待定 \(f_i\) 值的函数。
对于这个函数,我们要使得 \(f_i\) 的数值最小,就是使得函数的截距最小(因为其他的都是定植),而如何找到使得函数截距最小的点呢?我们来画一下图:
可以发现,我们将这个函数的直线向上移动的时候,最先碰到的一个点就是满足条件的点,而我们如何维护这么一个点呢,我们可以发现一些可能的点的性质:
任意两个可能的点的连线下侧不能有点存在
所有可能被选中的点构成的集合中,相邻的两个点的斜率是单调递增的,即下凸壳。
大家可以结合图像理解理解:
因为这个函数的斜率 \(sumt_i+s\) 是单调递增的,因为 \(t_i\) 是非负的,所以我们可以发现,对于已经放弃的点,最后也不可能被重新启用。
而每进入一个点时,由于 \(suma_i\) 是单调递增的(因为 \(a_i\) 是非负的),所以我们是向着 \(x\) 轴正方向更新点的,根据性质 \(1\) ,如果这个点向当前最右点连线后,有点出现在直线的下方,则说明最右点不成立,而之后也不可能成立。
结合上面两种操作和性质 \(2\) ,我们可以想到用单调队列维护,维护方式就是上面的操作。
代码如下:
while(head<tail&&cal(q[head],q[head+1])<=sumt[i]+s)
++head;
f[i]=f[q[head]]+sumt[i]*(suma[i]-suma[q[head]])+s*(suma[n]-suma[q[head]]);
while(head<tail&&cal(q[tail-1],q[tail])>=cal(q[tail-1],i))
--tail;
q[++tail]=i;
Part 4: O(nlogn)
而针对这一道题目,我们可以发现 \(t_i\) 是有负的,所以我们第一操作就必须放弃了,因为函数的斜率并非是单调递增的。
但是我们依旧可以维护下凸壳的单调性,而对于当前遍历到的函数斜率,我们可以通过二分的方式找到符合条件的点,即该点与其左侧点的连线斜率小于函数斜率,该点与其右侧殿的连线的斜率大于函数斜率。
代码如下:
int l=head,r=tail-1,mid,res=q[tail];
while(l<=r)
{
mid=(l+r)>>1;
if(cal(q[mid],q[mid+1])>sumt[i]+s)
{
res=q[mid];
r=mid-1;
}
else
l=mid+1;
}
f[i]=f[res]+sumt[i]*(suma[i]-suma[res])+s*(suma[n]-suma[res]);
while(head<tail&&cal(q[tail-1],q[tail])>=cal(q[tail-1],i))
--tail;
q[++tail]=i;
总结
我们可以发现,得出斜率优化函数的方法是提取出关于 \(j\) 项,只要能拆出关于 \(j\) 的一次项,剩下的项塞到等号的另一边,就可以进行斜率优化了。
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