UVA 11916 Emoogle Grid（同余模）

题目链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3067

题意：用K种颜色给一个N*M的格子涂色。其中有B个格子是不能涂色的。涂色时满足同一列上下紧邻的两个格子的颜色不同。所有的涂色方案模100000007后为R。现在给出M、K、B、R，求一个最小的N，满足题意。

思路：设给出的B个不能涂的格子的最大行坐标为maxX。首先，我们能计算出前maxX行的方案数ans，若ans=R则maxX就是答案。接着，我们能计算出前maxX+1行的方案数ans1，若ans1=R则答案为 maxX+1。否则，设下面还需要t行，那么有ans1*((K-1)^M)^t%100000007=R，将ans1的逆元乘到右侧得到新的R'=R*reverse(ans1)，令p=(K-1)^M。那么就成了求最小的t满足p^t%100000007=R'。

int Pow(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=(i64)ans*x%mod;
        x=(i64)x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int Pow(int x,int y,int mod)
{
    int ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=(i64)ans*x%mod;
        x=(i64)x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b) 
    {
        x=1; y=0;
        return a;
    }
    int temp=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return temp;
}

int reverse(int a,int b)
{
    int x,y;
    exGcd(a,b,x,y);
    x=x%b;
    if(x<0) x+=b;
    return x;
}

int logMod(int a,int b,int n)
{
    int m=sqrt(n+0.5);
    int v=reverse(Pow(a,m,n),n);
    map<int,int> mp;
    int x=1,i;
    mp[1]=0;
    for(i=1;i<m;i++)
    {
        x=(i64)x*a%n;
        if(!mp.count(x)) mp[x]=i;
    }
    FOR0(i,m) 
    {
        if(mp.count(b)) return i*m+mp[b];
        b=(i64)b*v%n;
    }
    return -1;
}

int m,R,K,B,p;

int cal(int x)
{
    if(x<=0) return 1;
    if(x==1) return K;
    int ans=(i64)K*Pow(K-1,x-1,mod)%mod;
    return ans;
}

int cal(vector<int> V,int maxX)
{
    int pre=0,ans=1,i;
    FOR0(i,SZ(V))
    {
        ans=(i64)ans*cal(V[i]-pre-1)%mod;
        pre=V[i];
    }
    ans=(i64)ans*cal(maxX-pre)%mod;
    return ans;
}

void cal(vector<int> V[N],int n,int maxX)
{
    int temp,i,x=m-n;
    int ans=Pow(cal(maxX),x);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        temp=cal(V[i],maxX);
        ans=(i64)ans*temp%mod;
        temp=SZ(V[i])-1;
        if(V[i][temp]<maxX) x++;
    }
    if(ans==R) PR(maxX);
    else 
    {
        ans=(i64)ans*Pow(K-1,x)%mod*Pow(K,m-x)%mod;
        if(ans==R) PR(maxX+1);
        else
        {
            temp=(i64)reverse(ans,mod)*R%mod;
            PR(maxX+1+logMod(p,temp,mod));
        }
    }
}

int main()
{
    int num=0;
    rush()
    {
        RD(m,K); RD(B,R);
        vector<int> V[N];
        map<int,int> mp;
        int i,x,y,t=0,maxX=0;
        FOR1(i,B)
        {
            RD(x,y);
            if(!mp.count(y)) mp[y]=++t;
            V[mp[y]].pb(x);
            maxX=max(maxX,x);
        }
        FOR1(i,t) sort(V[i].begin(),V[i].end());
        p=Pow(K-1,m,mod);
        printf("Case %d: ",++num);
        int ans;
        if(maxX==0)
        {
            ans=Pow(K,m);
            if(ans==R) puts("1");
            else
            {
                ans=(i64)reverse(ans,mod)*R%mod;
                PR(1+logMod(p,ans,mod)); 
            }
        }
        else cal(V,t,maxX);
    }
}