2015上海网络赛 A Puzzled Elena

题意:给定一棵树，求这个节点的所有子树中包括他本身与它互质的节点的个数.

解题思路：题利用dfs序+容斥原理+前缀和性质解决。题目中要求每个结点，和多少个它的子结点互素。如果每次为了求一个点去跑一遍dfs,复杂度将是 O(N(N+M))。一定会超时。因此需要深入加以分析。注意到n的范围是10^5以内的，因此可以事先用线性筛求出每个数含有哪些素因子。接下来，我们 尝试利用dfs序来求解。设num[i]表示遍历到当前结点时候，含有因数i（注意，不一定是素数）的结点个数。可以发现，如果第一次遍历到结点u，含有 u的因数的个数为a，那么第二次遍历到u时候，含有u的因数的个数变成了b，那么b-a就是u的子树中，含有u的因数的结点个数，即和u不互素的结点个 数。用总的结点数减掉这部分，即得到了和u互素的结点个数。这正是用了前缀和的性质。那么，如何求解有当前有多个结点含有u的因数呢？可以利用容斥原理求解。因为我们已经预处理出来了所有数的素因数，假设有len个素因数，由于“含 有”即表示只要有1个即可。因此结果就是{只含有1种素因子的个数}-{只含有2种素因子的个数}+{只含有3个素因子的个数}-...+ (-1)^(n-1){含有n个素因子的个数}。这恰好就是容斥原理。至此，问题得以解决。

 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<memory.h>
 #include<cstdlib>
 #include<vector>
 #define clc(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define LL long long int
 using namespace std;
 const int N=;
 const double eps=1e-;
 const int inf=0x3f3f3f3f;

 int n;
 int val[N];
 int ans[N];
 int e;
 int num[N];
 int head[N];
 vector<int>g[N];
 struct Edge
 {
     int to,next;
 }edge[N*];

 void add(int u,int v)
 {
    edge[e].to=v;
    edge[e].next=head[u];
    head[u]=e++;
 }

 void init()
 {
     for(int i=;i<N;i++)
     {
         if(!g[i].empty())
             continue;
         for(int j=i;j<N;j+=i)
             g[j].push_back(i);
     }
 }

 int calc(int x,int y)//*y=0表示进入这颗树的时候，含有互质的数目为0；y=1表示dfs回溯的时候离开这棵树相应互质节点数目加一*//
 {
     int len=g[x].size();
     int res=;
     for(int i=;i<(<<len);i++)
     {
         int t=;
         int cnt=;
         for(int j=;j<len;j++)
         {
             if(i&(<<j))
             {
                 cnt++;
                 t=t*g[x][j];
             }
         }
         if(cnt%)
             res+=num[t];
         else
             res-=num[t];
         num[t]+=y;
     }
     return res;
 }
 int dfs(int u,int pre)
 {
     int cnt=;
     int L=calc(val[u],);
     for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
     {
         int v=edge[i].to;
         if(v==pre)
             continue;
         cnt+=dfs(v,u);
     }
     int R=calc(val[u],);
     ans[u]=cnt-(R-L);
     if(val[u]==)
     ans[u]++;
     return cnt+;
 }
 int main()
 {
     int u,v;
     int cas=;
     while(~scanf("%d",&n))
     {
         e=;
         init();
         clc(num,);
         clc(head,-);
         for(int i=;i<n-;i++)
         {
             scanf("%d%d",&u,&v);
             add(u,v);
             add(v,u);
         }
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%d",&val[i]);
         }
         dfs(,);
         printf("Case #%d:",cas++);
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
            printf(" %d",ans[i]);
         }
         printf("\n");
     }
     return ;
 }