BZOJ 1020 安全的航线flight

Description

在设计航线的时候，安全是一个很重要的问题。首先，最重要的是应采取一切措施确保飞行不会发生任何事故，但同时也需要做好最坏的打算，一旦事故发生，就要确保乘客有尽量高的生还几率。当飞机迫降到海上的时候，最近的陆地就是一个关键的因素。航线中最危险的地方就是距离最近的陆地最远的地方，我们称这种点为这条航线“孤地点”。孤地点到最近陆地的距离被称为“孤地距离”。作为航空公司的高级顾问，你接受的第一个任务就是尽量找出一条航线的孤地点，并计算这条航线的孤地距离。为了简化问题，我们认为地图是一个二维平面，陆地可以用多边形近似，飞行线路为一条折线。航线的起点和终点都在陆地上，但中间的转折点是可能在海上（如下图所示，方格标示出了孤地点）。 

Input

输入的第一行包括两个整数C和N（1≤C≤20，2≤N≤20），分别代表陆地的数目的航线的转折点的数目。接下来有N行，每行有两个整数x,y。(x,y)表示一个航线转折点的坐标，第一个转折点为航线的起点，最后一个转折点为航线的终点。接下来的输入将用来描述C块大陆。每块输入由一个正整数M开始（M≤30），M表示多边形的顶点个数，接下来的M行，每行会包含两个整数x,y，(x,y)表示多边形的一个顶点坐标，我们保证这些顶点以顺时针或逆时针给出了该多边形的闭包，不会出现某些边相交的情况。此外我们也保证输入数据中任何两块大陆不会相交。输入的所有坐标将保证在-10000到10000的范围之间。

Output

输出一个浮点数，表示航线的孤地距离，数据保留2位小数。

Sample Input

1 2
-9 -6
5 1
3
0 16
-16 -12
17 -6

Sample Output

0.00

 

吐槽：不得不说这种计算几何题TTM恶心了，对着数据(70个点用geogebra一一手打)调了3天。功夫不负有心人，还是切掉了。感谢我们学校的大神犇莫涛学长的算法，不然像我这种蒟蒻恐怕一辈子都写不出二分答案的正解。

 

为了表示膜拜，我将我的做法口述一遍吧(其实就是莫涛学长在论文上写的那种迭代)，忽然间感觉自己和ydc比起来写得好丑。

1. 先将所有不在多边形内部的线段加入队列中；
2. 取出队首线段，找出与左端点最近的多边形上的点p1，右端点最近的多边形上的点p2。ans = max(ans,dis(p1,左端点),dis(p2,右端点))；
3. 在线段上二分出一个点p，使得dis(p,p1) == dis(p,p2)；
4. 若dis(p,p1) < ans，continue；否则，将线段二等分加入队列中；
5. 重复2，3,4直到队列为空；

算法(减枝)就是这样。为什么这样是对的呢？我们证明一下：

我们现在要讨论的就是这个算法的正确性

现在我们有一条线段和对应的p1和p2，分别是左端点最近的点和右端点最近的点

有三种情况

然后我们发现线段上的点到自己最近点的距离不会超过max(dis(p1,p),dis(a,p1),(b,p2))（a，b分别为线段的左右端点）

所以我们的删除操作是对的，我们删除的都是不会更新答案的线段，就像ydc说的一样，这个就像是搜索剪枝

(注：上述证明转自:http://www.cnblogs.com/Randolph87/p/3642917.html)

最后再贴一份自己丑丑的代码：

 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 using namespace std;

 #define rhl 10001
 #define esp (1e-4)
 #define maxn (30)
 #define maxc (30)
 #define maxm (40)
 int tot,n,c,have[maxc]; double ans;

 inline double equal(double a,double b) { return fabs(a-b) < esp; }

 inline bool dd(double a,double b) { if (equal(a,b)) return true; return a >= b; }  //>=

 inline bool xd(double a,double b) { if (equal(a,b)) return true; return a <= b; }  //<=

 struct NODE
 {
     double x,y;
     friend inline bool operator == (NODE a,NODE b) { return equal(a.x,b.x)&&equal(a.y,b.y); }
     friend inline bool operator < (NODE a,NODE b)
     {
         if (a.x != b.x) return a.x < b.x;
         else return a.y < b.y;
     }
     inline NODE ra()
     {
         int xx,yy;
         do xx = rand()%rhl,yy = rand()%rhl;
         while (equal(1.0*xx,x)||equal(1.0*yy,y));
         return (NODE) {1.0*xx,1.0*yy};
     }
     inline void read() { scanf("%lf %lf",&x,&y); }
 }pol[maxc][maxm],bac[maxc*maxm];
 struct LINE
 {
     double a,b,c;
     friend inline bool operator ==(LINE l1,LINE l2) { return equal(l1.a*l2.c,l2.a*l1.c); }
     inline LINE vert(NODE p) { return (LINE) {b,-a,a*p.y-b*p.x}; }
     inline bool on(NODE p) { return equal(,a*p.x+b*p.y+c); }
 };
 struct SEG{
     NODE a,b;
     inline NODE MID() { return (NODE) {(a.x+b.x)/,(a.y + b.y)/}; }
     inline bool exist() { return !(a == b); }
     inline LINE extend() { return (LINE) {a.y-b.y,b.x-a.x,b.y*(a.x-b.x)-b.x*(a.y-b.y)}; }
     inline bool on(NODE p)
     {
         if (p == a) return true;
         if (p == b) return true;
         return (dd(p.x,min(a.x,b.x))&xd(p.x,max(a.x,b.x)))&&(dd(p.y,min(a.y,b.y))&xd(p.y,max(a.y,b.y)));
     }
 }temp[maxn];
 queue <SEG> team;

 inline bool para(LINE l1,LINE l2) { return equal(l1.a * l2.b,l1.b * l2.a); }

 inline double qua(double a) { return a * a; }

 inline double dis(NODE a,NODE b) { return sqrt(qua(a.x - b.x)+qua(a.y - b.y)); }

 inline NODE cp(LINE l1,LINE l2)
 {
     double a1 = l1.a,b1 = l1.b,c1 = l1.c;
     double a2 = l2.a,b2 = l2.b,c2 = l2.c;
     double ry = (c2*a1-c1*a2)/(b1*a2-b2*a1),rx = (c1*b2-c2*b1)/(b1*a2-b2*a1);
     return (NODE) {rx,ry};
 }

 inline void cross(SEG s,int now)
 {
     LINE l = s.extend(),l1; SEG t; NODE p; NODE tt[maxm];
     int cnt = ;
     for (int i = ;i <= have[now];++i)
     {
         t = (SEG) {pol[now][i],pol[now][i-]};
         l1 = t.extend();
         if (para(l,l1))
         {
             if (l == l1)
             {
                 if (s.on(t.a)) tt[++cnt] = t.a;
                 if (s.on(t.b)) tt[++cnt] = t.b;
             }
             continue;
         }
         p = cp(l,l1);
         if (t.on(p) && s.on(p))
             tt[++cnt] = p;
     }
     sort(tt+,tt+cnt+);
     for (int i = ;i <= cnt;++i) bac[++tot] = tt[i];
 }

 inline NODE find(NODE p)
 {
     NODE ret,q; LINE l1,l2; SEG s; double best = 1e9,len;
     for (int i = ;i <= c;++i)
         for (int j = ;j <= have[i];++j)
         {
             s = (SEG) {pol[i][j],pol[i][j-]};
             l1 = s.extend();
             l2 = l1.vert(p);
             q = cp(l1,l2);
             if (s.on(q))
             {
                 len = dis(p,q);
                 if (best > len) ret = q,best = len;
             }
             else
             {
                 if (dis(p,s.a) < dis(p,s.b)) q = s.a;
                 else q = s.b;
                 len = dis(p,q);
                 if (best > len) ret = q,best = len;
             }
         }
     return ret;
 }

 inline bool in(NODE p)
 {
     NODE q = p.ra(); SEG s = (SEG) {p,q},t; LINE l = s.extend(),l1; int cnt;
     for (int i = ;i <= c;++i)
     {
         cnt = ;
         for (int j = ;j <= have[i];++j)
         {
             t = (SEG) {pol[i][j],pol[i][j-]};
             if ((t.extend()).on(p)&&t.on(p)) return false;
             l1 = t.extend();
             if (para(l,l1)) continue;
             q = cp(l,l1);
             if (dd(q.x,p.x)&&t.on(q)) ++cnt;
         }
         if (cnt & ) return true;
     }
     return false;
 }

 inline void init()
 {
     for (int i = ;i < n;++i)
     {
         tot = ;
         if (!(temp[i].a < temp[i].b)) swap(temp[i].a,temp[i].b);
         for (int j = ;j <= c;++j)
             cross(temp[i],j);
         if (!in(temp[i].a)) bac[++tot] = temp[i].a;
         if (!in(temp[i].b)) bac[++tot] = temp[i].b;
         sort(bac+,bac+tot+);
         for (int j = ;j < tot;j++)
             if (!in((SEG){bac[j],bac[j+]}.MID()))
                 team.push((SEG){bac[j],bac[j+]});
      }
 }

 inline void work()
 {
     SEG now; NODE mid,p1,p2,l,r; double ret;
     while (!team.empty())
     {
         now = team.front(); team.pop();
         if (!now.exist()) continue;
         p1 = find(now.a); p2 = find(now.b);
         l = now.a,r = now.b;
         while (!(l == r))
         {
             mid = ((SEG){l,r}).MID();
             if (dis(p1,mid) > dis(p2,mid)) r = mid;
             else l = mid;
         }
         ret = dis(r,p1);
         ans = max(max(dis(now.a,p1),dis(now.b,p2)),ans);
         if (ret-esp < ans) continue;
         mid = now.MID();
         team.push((SEG){now.a,mid}),team.push((SEG){mid,now.b});
     }
 }

 int main()
 {
     srand();
     ans = ;
     scanf("%d %d ",&c,&n);
     NODE p1,p2; p1.read();
     for (int i = ;i <= n;++i)
     {
         p2.read(); temp[i-] = (SEG) {p1,p2};
         p1 = p2;
     }
     for (int i = ;i <= c;++i)
     {
         scanf("%d ",have+i);
         for (int j = ;j <= have[i];++j) pol[i][j].read();
         pol[i][] = pol[i][have[i]];
     }
     init();
     work();
     printf("%.2lf\n",ans);
     fclose(stdin); fclose(stdout);
     return ;
 }