Codeforces10D–LCIS(区间DP)

题目大意

给定两个序列，要求你求出最长公共上升子序列

题解

LIS和LCS的合体，YY好久没YY出方程，看了网友的题解，主要是参考aikilis的，直接搬过来好了

经典的动态规划优化。

用opt[i][j]表示s[0..i-1]与t[0..j-1]的以t[j-1]结尾的最长上升公共子序列的长度，那么最后的答案是max{opt[n][j] | 1<=j<=m}。

当s[i-1]!=t[j-1]时，由于必须以t[j-1]收尾，所以不可能选择s[i-1]，故有：

opt[i][j]=opt[i-1][j]。

当s[i-1]=t[j-1]时，与LIS一样，我们有：

opt[i][j]=1+max{opt[i-1][k] | k<j,t[k]<t[j]}。

如果直接求解这个状态转移方程，时间复杂度是O(n^3)，我们需要进行优化，由于主要的时间消耗出现在s[i]=t[j]的情况下，所以我们对这种情况的求解进行优化。

我们按照i优先的顺序求解（外层循环为i），那么注意到在求解opt[i][j]时，主要的工作量是计算max{opt[i-1][k] | k<j,t[k]<t[j]}，然而如果我们利用以前已经求解过的opt[][]的值，可以直接得到opt[i][j]=1+max{opt[i-1][k] | k<j,t[k]<t[j]}的值而不用枚举，假设在t[j]之前有一个t[p]满足t[p]=t[j] （p<j），那么我们在求解opt[i][p]的时候已经得到了max{opt[i-1][k] | k<p,t[k]<t[p]}，所以在求解opt[i][j]时，对于k<p，我们不用再比较opt[i-1][k] |，他们的最大值就等于opt[i][p]-1，所以我们可以记录最大的p，然后在求解opt[i][j]时，只对大于p的k作比较，另一方面，如果对于t[p]与t[k]之间的t的元素，我们显然不需要考虑那些不小于t[j]的，又因为t[j]=s[i]，所以实际上我们只需要取max{opt[i-1][k] | p<k<j,t[k]<s[i]}与opt[i][p]-1的最大值，鉴于此，我们得到如下的做法：

在每次内层循环（求解j）前，维护一个mx变量，它维护max{opt[i-1][k] | k<j,t[k]<t[j]=s[i]}的值，然后循环j，如果遇到t[j]<s[i]，则更新mx=max{mx,opt[i-1][j]，当出现t[j]=s[i]时，有opt[i][j]=mx+1。

这样时间复杂度降为O(n^2)。

刚开始的时候记录路径用了一维的，CF上AC了，不过POJWA了，后面改用二维，顺便学习了CF上大神的代码，用pair记录路径，这东西真是好东西，哈哈，又学到一个新东西~~~不过POJ上RE了，发现是有个变量忘记初始化了

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <utility>
using namespace std;
#define  MAXN 505
int a[MAXN],b[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN],m,n;
pair<int,int> pre[MAXN][MAXN];
void dfs(int i,int j)
{
    if(!i||!j) return;
    dfs(pre[i][j].first,pre[i][j].second);
    if(a[i]==b[j]) printf("%d ",b[j]);
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        scanf("%d",&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
            scanf("%d",&b[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int p=0;
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                if(a[i]>b[j]&&dp[i-1][j]>dp[i-1][p]) p=j;
                if(a[i]!=b[j])dp[i][j]=dp[i-1][j],pre[i][j]=make_pair(i-1,j);
                else
                    dp[i][j]=dp[i-1][p]+1,pre[i][j]=make_pair(i-1,p);
            }
        }
        int ans=0,index=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(dp[n][i]>ans)
                ans=dp[n][i],index=i;
        printf("%d\n",ans);
        dfs(n,index);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}