图论（网络流）：[HNOI 2013]切糕

[HNOI 2013]切糕

第三题：切糕（程序文件名：cake.exe）100 分，运行时限：5s

　　经过千辛万苦小A 得到了一块切糕，切糕的形状是长方体，小A 打算拦腰将切糕切成两半分给小B。出于美观考虑，小A 希望切面能尽量光滑且和谐。于是她找到你，希望你能帮她找出最好的切割方案。

　　出于简便考虑，我们将切糕视作一个长P、宽Q、高R 的长方体点阵。我们将位于第z层中第x 行、第y 列上(1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)的点称为(x,y,z)，它有一个非负的不和谐值v(x,y,z)。一个合法的切面满足以下两个条件：

　　1. 与每个纵轴(一共有P*Q 个纵轴)有且仅有一个交点。即切面是一个函数f(x,y)，对于所有1≤x≤P, 1≤y≤Q,我们需指定一个切割点f(x,y),且1≤f(x,y)≤R。

　　2. 切面需要满足一定的光滑性要求，即相邻纵轴上的切割点不能相距太远。对于所有的1≤x,x’≤P 和1≤y,y’ ≤Q，若|x-x’|+|y-y’|=1，则|f(x,y)-f(x’,y’)| ≤D，其中D 是给定的一个非负整数。

可能有许多切面f 满足上面的条件，小A 希望找出总的切割点上的不和谐值最小的那个，即v(x, y, f (x, y))x,y 最小。

【输入格式】（input.txt）

　　从文件input.txt中读入数据，输入文件第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P,1≤y≤Q, 1≤z≤R)。

　　100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。

【输出格式】（output.txt）

　　 输出文件output.txt 仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

【输入输出样例】

input.txt       output.txt

2 2 2            6

1

6 1

6 1

2 6

2 6

input.txt   output.txt

2 2 2        12

0

5 1

5 1

2 5

2 5

【样例解释】

第一组样例中最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1。

第二组样例中最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=f(1,2)=f(2,2)=1。

　　注意最小割有个这样的性质：假设有一条INF的边从a连到b，那么a之后的与b之前的不能同时被割，画个图很好理解，只是我讲不清。

　　然后就很好做了…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <queue>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 const int maxm=;
 const int INF=;
 int cnt,fir[maxn],to[maxm],nxt[maxm],cap[maxm];
 int dis[maxn],gap[maxn],path[maxn],fron[maxn];
 queue<int>q;

 struct Net_Flow{
     int tot;
     void Init(int tot_){
         memset(dis,,sizeof(dis));
         memset(gap,,sizeof(gap));
         memset(fir,,sizeof(fir));
         cnt=;tot=tot_;
     }
     void add(int a,int b,int c){
         nxt[++cnt]=fir[a];
         cap[cnt]=c;
         fir[a]=cnt;
         to[cnt]=b;
     }
     void addedge(int a,int b,int c){
         add(a,b,c);add(b,a,);
     }
     bool BFS(int S,int T){
         dis[T]=;q.push(T);
         while(!q.empty()){
             int x=q.front();q.pop();
             for(int i=fir[x];i;i=nxt[i])
                 if(!dis[to[i]]){
                     dis[to[i]]=dis[x]+;
                     q.push(to[i]);
                 }
         }
         return dis[S];
     }
     int Max_Flow(int S,int T){
         if(!BFS(S,T))return ;
         for(int i=;i<tot;i++)fron[i]=fir[i];
         for(int i=;i<tot;i++)gap[dis[i]]+=;
         int ret=,p=S,f,Min;
         while(dis[S]<=tot){
             if(p==T){
                 f=INF;
                 while(p!=S){
                     f=min(f,cap[path[p]]);
                     p=to[path[p]^];
                 }ret+=f;p=T;
                 while(p!=S){
                     cap[path[p]]-=f;
                     cap[path[p]^]+=f;
                     p=to[path[p]^];
                 }
             }

             for(int &i=fron[p];i;i=nxt[i])
                 if(cap[i]&&dis[to[i]]==dis[p]-)
                     {path[p=to[i]]=i;break;}

             if(!fron[p]){Min=tot;
                 if(--gap[dis[p]]==)break;
                 for(int i=fir[p];i;i=nxt[i])
                     if(cap[i])Min=min(Min,dis[to[i]]);
                 gap[dis[p]=Min+]+=;fron[p]=fir[p];
                 if(p!=S)p=to[path[p]^];
             }
         }
         return ret;
     }
 }ISAP;

 int P,Q,R,D,S,T;
 int ID(int i,int j,int k){
     if(!k)return ;
     return (k-)*P*Q+(i-)*Q+j;
 }
 int gx[]={,-,,};
 int gy[]={,,-,};
 int main(){
     freopen("nutcake.in","r",stdin);
     freopen("nutcake.out","w",stdout);

     scanf("%d%d%d%d",&P,&Q,&R,&D);
     S=;T=P*Q*R+;ISAP.Init(T+);
     for(int k=;k<=R;k++)
         for(int i=;i<=P;i++)
             for(int j=,w;j<=Q;j++){
                 scanf("%d",&w);
                 ISAP.addedge(ID(i,j,k-),ID(i,j,k),w);
                 if(k-D>){int x,y,z=k-D;
                     for(int t=;t<;t++){
                         x=i+gx[t];y=j+gy[t];
                         if(x>&&x<=P&&y>&&y<=Q)
                         ISAP.addedge(ID(i,j,k),ID(x,y,z),INF);
                     }
                 }
                 if(k==R)ISAP.addedge(ID(i,j,k),T,INF);
             }
     printf("%d\n",ISAP.Max_Flow(S,T));
     return ;
 }