[HNOI 2013] 旅行（数学）

感觉此题难啊，数学还是太渣了，看了半天的题解才算明白了点儿。

题目大意

给一个长度为n且仅由1和-1组成的序列ai, i = 1, 2, ..., n，每个位置都有另一个值vi，要求用某种方案将序列划分为m（0 < m < n）个非空连续子序列，使得所有子序列中和的最大绝对值最小，并且在所有满足上述条件的方案中划分位置的v[i]序列字典序最小。

猜想及证明

记

$S_i = \sum_{j = 1}^{i}{a_j}$

$C: \mathbb{Z} \to \mathbb{N},C(i) = \sum_{j = 1}^{n}{[S_j = i]}$

记题目中说的和的最大绝对值的最小值为 $k$

有如下几个结论

若 $S_n = 0$ 并且 $m \leqslant C(0)$ ，则 $k = 0$
若 $S_n = 0$ 并且 $m > C(0)$ ，则 $k = 1$
若 $S_n \neq 0$ ，则 $k = \lceil \frac{|S_n|}{m} \rceil$

证明：

第一条结论是显然的
对于第二条结论，首先可以肯定 $k \neq 0$ ，所以 $k \geqslant 1$ 。我们要证明对于和为零长度为n的序列，始终存在方案将其划分为i段（i = 1, 2,..., n），且每一段的和都是-1, 0, 1中一个（即 $k \leqslant 1$ ）。这样我们就能得到 $k = 1$ 。证明方法如下：

考虑将序列划分为n段，显然这是满足条件的，因为每一段的和都为1或-1
现在考虑将这n段中相邻的进行合并，由于整个序列的和为0，故一定能找到一对相邻的段，它们一个的和为-1，另一个为1，令它们合并后，新的段和为0，得到划分为n - 1段的方案
继续执行合并。由于整个序列和为0，每一段的和都为-1， 0， 1，所以只要序列中存在1，就一定存在-1，且始终存在相邻或中间仅隔着0的1和-1，且0可以任意合并，所以可以一直合并下去，直到最后仅剩下一个0，即为合并成一段的方案

对于第三条结论，如果，我们可以肯定的是。原因是如果每一段的和的绝对值都小于，整个序列的和不可能为。下面我们证明可以构造出的方案。
- 如果 $m \leqslant |S_n|$ ，相当于把一堆大小为 $|S_n|$ 的物品分成 $m$ 堆，只要保证尽量平均即可
- 如果 $m > |S_n|$ ，由于需要保证每一段非空，我们要换一种方式考虑。考虑先取出 $|S_n|$ 个位置，可以做到每一段和的绝对值都为1，也就是说，每一段中可一取出一个数使得剩余部分和为0，这就又变成上面的问题，已经证明对这些部分继续划分 $k \leqslant 1$ ，所以 $k = 1 = \lceil \frac{|S_n|}{m} \rceil$

计算方案

这题思维难度很大，就算上面的结论猜到了，敢用了，想不出下面计算字典序最小的方案的算法也是没有用的。

对于 $S_n = 0$ 并且 $m \leqslant C(0)$ 的情况，由于有且仅有前缀和为0的位置可选，我们仅需要维护一个单调队列，对第i个划分位置入队直到后面的前缀和为0的位置不足时为止，然后取出队中最小的即可。

对于其他情形，我们当前选择的位置受上一个位置限制。假设第 $i - 1$ 个位置为 $p$ ，给定另一个位置 $j$ ， $j$ 可以作为第 $i$ 个位置当且仅当

　　 $\left\{\begin{matrix} |S_j - S_p| \leqslant k \\ \lceil \frac{|S_n - S_j|}{m - i} \rceil \leqslant k \\ n - j \geqslant m - i \end{matrix}\right.$

这个就有些难。我们对每个S值维护一个单调队列，得到第 $i - 1$ 个位置 $p$ 后，我们访问所有S值在 $[S_p - k, S_p + k]$ 中的单调队列。

看起来是不是很暴力？似乎又要MLE又要TLE的样子？让我们仔细分析空间和时间复杂度，由于我们所有位置都最多入队一次，故空间复杂度为 $O(n)$ 。因为 $k \in O(\frac{n}{m})$ ，总共选m次，故总的时间复杂度为 $O(n)$ 。