2、单线性变量的回归(Linear Regression with One Variable)

2.1 模型表示

　　我们通过一个例子来开始：这个例子是预测住房价格的，我们要使用一个数据集，数据集包含俄勒冈州波特兰市的住房价格。在这里，我要根据不同房屋尺寸所售出的价格，画出我的数据集。比方说，如果你朋友的房子是1250平方尺大小，你要告诉他们这房子能卖多少钱。那么，你可以做的一件事就是构建一个模型，也许是条直线，从这个数据模型上来看，也许你可以告诉你的朋友，他能以大约220000(美元)左右的价格卖掉这个房子。这就是监督学习算法的一个例子。

　　它被称作监督学习是因为对于每个数据来说，我们给出了“正确的答案”，即告诉我们：根据我们的数据来说，房子实际的价格是多少，而且，更具体来说，这是一个回归问题。回归一词指的是，我们根据之前的数据预测出一个准确的输出值，对于这个例子就是价格，同时，还有另一种最常见的监督学习方式，叫做分类问题，当我们想要预测离散的输出值，例如，我们正在寻找癌症肿瘤，并想要确定肿瘤是良性的还是恶性的，这就是0/1离散输出的问题。更进一步来说，在监督学习中我们有一个数据集，这个数据集被称训练集。

我将在整个课程中用小写的m来表示训练样本的数目。

以之前的房屋交易问题为例，假使我们回归问题的训练集（Training Set）如下表所示：

我们将要用来描述这个回归问题的标记如下:

m 代表训练集中实例的数量

x 代表特征/输入变量

y 代表目标变量/输出变量

( x,y ) 代表训练集中的实例

(x^i,y^i) 代表第i个观察实例

h代表学习算法的解决方案或函数也称为假设（hypothesis）

过程：

　　这就是一个监督学习算法的工作方式，我们可以看到这里有我们的训练集里房屋价格 喂给我们的学习算法，学习算法的工作了，然后输出一个函数，通常表示为小写 h表示。h代表hypothesis(假设)，h表示一个函数，输入是房屋尺寸大小，就像你朋友想出售的房屋，因此 h根据输入的 x值来得出 y值，y值对应房子的价格 因此h 是一个从x 到 y的函数映射。

　　我将选择最初的使用规则ℎ代表 hypothesis，因而，要解决房价预测问题，我们实际上是要将训练集“喂”给我们的学习算法，进而学习得到一个假设ℎ，然后将我们要预测的房屋的尺寸作为输入变量输入给ℎ，预测出该房屋的交易价格作为输出变量输出为结果。那么，对于我们的房价预测问题，我们该如何表达 ℎ？

一种可能的表达方式为：ℎ(x)=