洛谷 P3214 - [HNOI2011]卡农（线性 dp）

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又是一道我不会的代码超短的题（

一开始想着用生成函数搞，结果怎么都搞不粗来/ll

首先不妨假设音阶之间存在顺序关系，最终答案除以 \(m!\) 即可。

本题个人认为一个比较亮的地方在于，每个音阶被奏响次数都是偶数这个条件的处理方式。由于是奇偶性，我们可以发现如果我们钦定了其中 \(m-1\) 个片段对应的音阶集合，那么第 \(m\) 个片段中的音阶集合一定已经确定了。我们考虑从这个性质入手。设 \(dp_i\) 表示有多少个包含 \(i\) 个片段且符合要求的音阶集合，那么我们考虑随便钦定前 \(i-1\) 个片段的音阶。方案数 \(P(2^n-1,i-1)\)，但是这样会存在某些情况不合法，不难发现不合法的情况只有可能是以下两类：

• 第 \(i\) 个片段的音阶集合为空
• 第 \(i\) 个片段的音阶集合与之前某个片段的音阶集合重复

考虑减去不合法的情况。对于第一种情况显然前 \(i-1\) 个音阶符合要求，方案数 \(f_{i-1}\)，对于第二种情况，考虑第 \(i\) 个片段与哪个片段重复，有 \(i-1\) 种可能，再考虑剩余 \(i-2\) 个片段中有多少种方案，根据 \(f\) 的定义可知方案数为 \(f_{i-2}\)，再考虑钦定第 \(i\) 个音阶的方案，由于不能为空也不能与前面 \(i-2\) 个片段重复，方案数 \(2^n-i+1\)，因此

\[f_i=P(2^n-1,i-1)-f_{i-1}-f_{i-2}·(i-1)·(2^n-i+1)
\]

线性地推即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(m)\)。

注意模数

int n,m,dp[MAXN+5],inv[MAXN+5];
int qpow(int x,int e){
	int ret=1;
	for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%MOD) if(e&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
	return ret;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);int tot=qpow(2,n);
	for(int i=(inv[0]=inv[1]=1)+1;i<=max(n,m);i++) inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	dp[0]=1;for(int i=1,cur=1;i<=m;i++) dp[i]=(0ll+cur-dp[i-1]-1ll*dp[i-2]*(tot-i+1+MOD)%MOD*(i-1)%MOD+MOD+MOD)%MOD,cur=1ll*cur*(tot-i)%MOD;
//	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",dp[i]);
	int res=dp[m];for(int i=1;i<=m;i++) res=1ll*res*inv[i]%MOD;printf("%d\n",res);
	return 0;
}