牛客挑战赛48C-铬合金之声【Prufer序列】

正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11161/C

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题目大意

\(n\)个点加\(m\)条边使得不存在环，每种方案的权值是所有联通块的大小乘积。

求所有方案的权值和。

\(1\leq n\leq 10^9,1\leq m\leq 10^7\)

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解题思路

就是分成\(n-m\)个树，然后权值比较麻烦。

但是发现权值是大小，所以可以理解为有根树，这样就是纯粹的求方案数了。

然后我们还可以优化，设虚根\(0\)，我们限制其度数为\(n-m\)就可以分为\(n-m\)个有根树了。

所以用\(Prufer\)序列统计的话方案数就是

\[\binom{n-1}{m}\times n^m
\]

时间复杂度\(O(n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=1e9+7;
ll n,m,C,inv[11000000];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);ll C=1;
	for(ll i=1;i<=m;i++)C=C*(n-i)%P;
	inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<=m;i++)
		inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P,C=C*inv[i]%P;
	printf("%lld\n",C*power(n,m)%P);
}