Nyoj 星际之门（一）(Cayley定理)

描述

公元3000年，子虚帝国统领着N个星系，原先它们是靠近光束飞船来进行旅行的，近来，X博士发明了星际之门，它利用虫洞技术，一条虫洞可以连通任意的两个星系，使人们不必再待待便可立刻到达目的地。

帝国皇帝认为这种发明很给力，决定用星际之门把自己统治的各个星系连结在一起。

可以证明，修建N-1条虫洞就可以把这N个星系连结起来。

现在，问题来了，皇帝想知道有多少种修建方案可以把这N个星系用N-1条虫洞连结起来？

 

输入

第一行输入一个整数T,表示测试数据的组数(T<=100)
每组测试数据只有一行，该行只有一个整数N，表示有N个星系。(2<=N<=1000000)

输出

对于每组测试数据输出一个整数，表示满足题意的修建的方案的个数。输出结果可能很大，请输出修建方案数对10003取余之后的结果。

样例输入

2
3
4

样例输出

3
16

来源

[张云聪]原创

上传者

张云聪

定义：

有n个标志节点的树的数目等于nn−2(仅是cayley在组合数学中的应用)

简单证明：

1.首先我们假设n为4，即有3个节点
2.这样的话我们就有k个子树，此时k=3

(图1)

3.选中其中一个节点C(1n),然后x 再选中不含该节点的一个子树C(1k−1),让这颗子树的根连接到该节点上，这样的话子树就减少了一棵

(图2)

(图3)

等。。。

4.重复操作直到k=1，k从n变成1总共执行了n-1次，所以根据乘法原理，构造出的有确定根节点的树有ans=nn−1∗(n−1)!
5.但是对于一棵树来说，它又n-1条边，每条边被选中先后的顺序有(n−1)!种，但是对于树来说，边的先后关系是无关紧要的，所以ans=ans(n−1)!=nn−1

(图4)

(图5)

6.对于每个树来说，构造树时有确定根节点，每一个树可以将该树中的n个节点均做为根节点，于是乎ans=ansn=nn−2

(图6)

(图7)

代码:

 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <cstdlib>
 #include <string>
 #include <cstring>
 #include <queue>
 using namespace std;
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define MAX 1000000 

 int main()
 {
     int n,m;
     scanf("%d",&n);
     while(n--){
         scanf("%d",&m);
         int ans=;
         for(int i=; i<m-; i++){
             ans*=m;
             ans%=;
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
 }

数学-cayley定理   转载链接:http://blog.csdn.net/keshuai19940722/article/details/33417525