Nyoj 星际之门(一)(Cayley定理)
描述
公元3000年,子虚帝国统领着N个星系,原先它们是靠近光束飞船来进行旅行的,近来,X博士发明了星际之门,它利用虫洞技术,一条虫洞可以连通任意的两个星系,使人们不必再待待便可立刻到达目的地。
帝国皇帝认为这种发明很给力,决定用星际之门把自己统治的各个星系连结在一起。
可以证明,修建N-1条虫洞就可以把这N个星系连结起来。
现在,问题来了,皇帝想知道有多少种修建方案可以把这N个星系用N-1条虫洞连结起来?
- 输入
- 第一行输入一个整数T,表示测试数据的组数(T<=100)
每组测试数据只有一行,该行只有一个整数N,表示有N个星系。(2<=N<=1000000) - 输出
- 对于每组测试数据输出一个整数,表示满足题意的修建的方案的个数。输出结果可能很大,请输出修建方案数对10003取余之后的结果。
- 样例输入
-
2
3
4 - 样例输出
-
3
16 - 来源
- [张云聪]原创
- 上传者
- 张云聪
定义:
有n个标志节点的树的数目等于nn−2(仅是cayley在组合数学中的应用)
简单证明:
1.首先我们假设n为4,即有3个节点
2.这样的话我们就有k个子树,此时k=3(图1)
3.选中其中一个节点C(1n),然后x 再选中不含该节点的一个子树C(1k−1),让这颗子树的根连接到该节点上,这样的话子树就减少了一棵
(图2)
(图3)
等。。。
4.重复操作直到k=1,k从n变成1总共执行了n-1次,所以根据乘法原理,构造出的有确定根节点的树有ans=nn−1∗(n−1)!
5.但是对于一棵树来说,它又n-1条边,每条边被选中先后的顺序有(n−1)!种,但是对于树来说,边的先后关系是无关紧要的,所以ans=ans(n−1)!=nn−1(图4)
(图5)
6.对于每个树来说,构造树时有确定根节点,每一个树可以将该树中的n个节点均做为根节点,于是乎ans=ansn=nn−2
(图6)
(图7)
代码:
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 1000000 int main()
{
int n,m;
scanf("%d",&n);
while(n--){
scanf("%d",&m);
int ans=;
for(int i=; i<m-; i++){
ans*=m;
ans%=;
}
printf("%d\n",ans);
}
}
数学-cayley定理 转载链接:http://blog.csdn.net/keshuai19940722/article/details/33417525
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