分析:这个题主要考察的是对线性同余方程的理解,根据题目中给出的a,b,c,d,不难的出这样的式子,(a+k*c) % (1<<d) = b; 题目要求我们在有解的情况下求出最小的解,我们转化一下形式。

  上式可以用同余方程表示为  a + k*c = (b) % (1<<d)   <-->  k*c = (b-a) % (1<<d)(中间应该是全等号,打不出来…)。这就是我们想要的同余方程,根据我的个人习惯,我把它转化为线性方程的形式。

  -->   c*x + (1<<d)*y = (b-a); 此时就对应了线性方程中的a*x + b*y = c的形式,当且仅当 c % gcd(a,b) == 0时x有解,得到x的一个解以后,我们另x化为(x%mod + mod) % mod的形式,mod = b/gcd(a,b);  这个时候的x范围处于(1,mod-1)之间,正是我们要的最小解。

  注意:注意LL的形式,在(1<<d)的时候,不要忘记改成(1LL << d),否则WA了,我被这里坑了……

  代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
/** a + c*k = b % d
-> c*k = (b-a) % d
-> c*x + d*y = k*(b-a);
-> if gcd(c,d) | (b-a);
-> get x = k;
-> else forever.
*/
LL x,y;
LL exgcd(LL a,LL b){
if(!b){
x = ; y = ;
return a;
}
LL gcd = exgcd(b,a%b);
LL tmp = x;
x = y;
y = tmp - a/b * y;
return gcd;
}
int main(){
LL a,b,c,d;
while(~scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d",&a,&b,&c,&d)){
if(a+b+c+d == ) break;
d = (1LL<<d);
LL A,B,gcd,C,ans,k,mod;
A = c; B = d; C = (b-a);
gcd = exgcd(A,B);
if(C % gcd != ){
puts("FOREVER");
}
else {
k = C / gcd;
x = k*x;
mod = B / gcd;
ans = (x%mod + mod) % mod;
printf("%I64d\n",ans);
}
}
return ; }

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