51nod1040最大公约数之和（欧拉函数）

题面

传送门

题解

这种题目就是推倒推倒

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)=\sum_{i|n}i\sum_{j=1}^n[\gcd(j,n)=i]
\]

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)=\sum_{i|n}i\sum_{j=1}^{\frac{n}{i}}[\gcd(j,\frac{n}{i})=1]
\]

\[\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)=\sum_{i|n}i\varphi({\frac{n}{i}})
\]

然后暴力就行了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=1e5+5;
bitset<N>vis;int p[N],phi[N],c[N],v[N],top,n,m,t,sqr;ll res;
void init(int n){
	phi[1]=1;
	fp(i,2,n){
		if(!vis[i])p[++m]=i,phi[i]=i-1;
		for(R int j=1;j<=m&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}
			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
}
int Phi(int n){
	if(n<=sqr)return phi[n];
	int res=n;
	for(R int i=1;i<=m&&p[i]<=n;++i)if(n%p[i]==0){
		while(n%p[i]==0)n/=p[i];
		res=res/p[i]*(p[i]-1);
	}
	if(n!=1)res=res/n*(n-1);
	return res;
}
void dfs(int pos,int now){
	if(pos==top+1)return res+=1ll*now*Phi(n/now),void();
	for(int i=0;i<=c[pos];++i,now*=v[pos])dfs(pos+1,now);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n),init(sqr=N-5);
	t=n;
	fp(i,1,m)if(t%p[i]==0){
		v[++top]=p[i];
		while(t%p[i]==0)++c[top],t/=p[i];
	}
	if(t!=1)v[++top]=t,c[top]=1;
	dfs(1,1);
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}