luogu P1446 [HNOI2008]Cards

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题解

题意就是求染色方案->等价类

洗牌方式构成成了一个置换群

然而,染色数限制不能用polay定理直接求解

考虑burnside引理

对于一个置换群其等价类的个数为置换中不动点的平均数

先暴力求出置换中的轮换，然后01背包DP求出不动点方案数

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using std::__gcd;
#define LL long long
const int maxn = 70;
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c<='9'&&c>='0')x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x;
}
int sr,sb,sg,m,p,n,cnt;
bool vis[maxn],size[maxn*maxn];
int col[maxn],f[maxn][maxn][maxn];
inline void find() {//找到该置换中轮换的个数
    cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof vis);
    memset(size,0,sizeof col);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        if(!vis[i]) {
            int p=i;cnt++;
            while(!vis[p])vis[p]=1,size[cnt]++,p=col[p];
        }
    }
}
int count() {
    memset(f,0,sizeof f);
    f[0][0][0]=1;
    for(int q=1;q<=cnt;++q)
        for(int i=sr;i>=0;--i)
            for(int j=sb;j>=0;--j)
                for(int k=sg;k>=0;--k) {
                    if(i>=size[q]) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-size[q]][j][k])%p;
                    if(j>=size[q]) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j-size[q]][k])%p;
                    if(k>=size[q]) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j][k-size[q]])%p;
                }
    return f[sr][sb][sg];
}
LL qpow(int x,int q) {
    int ret=1;
    for(int i=q;i;i>>=1,x=x*x%p)
        if(i&1)ret=ret*x%p;
    return ret;
}
int main() {
    LL ans=0;
    sr=read(),sb=read(),sg=read(),m=read(),p=read();
    n=sr+sb+sg;
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            col[j]=read();
        }
        find();
        ans+=count();
    }
    //m+1为不动置换
    for(int i=1;i<=n;++i) col[i]=i;
    find();
    ans+=count();
    ans=(ans*qpow(m+1,p-2))%p;
    std::cout<<ans<<std::endl;
    return 0;
}