COGS2287 [HZOI 2015]疯狂的机器人

【题目描述】

现在在二维平面内原点上有一只机器人

他每次操作可以选择向右走，向左走，向下走，向上走和不走(每次如果走只能走一格）

但是由于本蒟蒻施展的大魔法，机器人不能走到横坐标是负数或者纵坐标是负数的点上

否则他就会big bang

给定操作次数n，求有多少种不同的操作序列使得机器人在操作后会回到原点

输出答案模998244353后的结果

注意如果两个操作序列存在某一时刻操作不同，则我们认为这两个操作序列不同

【输入格式】

输入n，表示操作次数

n<=100000

【输出格式】

按要求输出答案

【样例输入】

3

【样例输出】

7

【提示】

样例解释：

机器人有7种操作序列

1、不走 不走 不走

2、不走 向右 向左

3、向右 不走 向左

4、向右 向左 不走

5、不走 向上 向下

6、向上 不走 向下

7、向上 向下 不走

正解：组合数学+$NTT$。

学习卡特兰数以后做这题好像不难？

我们把操作分为$3$类，向右和向左为一类，向上和向下为一类，不动为一类。

那么如果只考虑前两类中的任何一类，那就是卡特兰数，因为这就是要求有$n/2$个$+1$,$-1$，且所有前缀和都$>=0$的序列方案数。很显然，只有偶数能取前两种情况。

那么我们扩展一下，如果有前两种操作，该怎么做？

$f[n]$表示$n$步路回到原点的方案数，那么$f[n]=\sum_{i=0}^{n}a[i]*a[n-i]*\binom{n}{i}$。

$a[i]$表示前两类操作走$i$步的方案数，$a[i]=c[i/2]$，当且仅当$i$为偶数，$c$为卡特兰数。

也就是说，从第一类操作中选$i$步，第二类操作中选$n-i$步，最后再组合起来，就是这个方案。

上式我们已经可以用$NTT$优化，做到$O(nlogn)$的复杂度。

考虑第$3$中操作，其实很简单了。我们只要枚举前两个操作总共有多少步，再和第$3$个操作组合一下就行。

也就是$Ans=\sum_{i=0}^{n}f[i]*\binom{n}{i}$。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define rhl (998244353)
 #define N (500010)

 using namespace std;

 int inv[N],fac[N],ifac[N],a[N],c[N],rev[N],n,m,lg,ans;

 il int qpow(RG int a,RG int b){
   RG int ans=;
   while (b){
     if (b&) ans=1LL*ans*a%rhl;
     a=1LL*a*a%rhl,b>>=;
   }
   return ans;
 }

 il void pre(){
   fac[]=ifac[]=fac[]=ifac[]=inv[]=;
   for (RG int i=;i<=(n<<);++i){
     inv[i]=1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
     fac[i]=1LL*fac[i-]*i%rhl;
     ifac[i]=1LL*ifac[i-]*inv[i]%rhl;
   }
   return;
 }

 il void NTT(int *a,RG int n,RG int f){
   for (RG int i=;i<n;++i) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
   for (RG int i=;i<n;i<<=){
     RG int gn=qpow(,(rhl-)/(i<<)),x,y;
     for (RG int j=,g=;j<n;j+=i<<,g=)
       for (RG int k=;k<i;++k,g=1LL*g*gn%rhl){
     x=a[j+k],y=1LL*g*a[j+k+i]%rhl;
     a[j+k]=x+y; if (a[j+k]>=rhl) a[j+k]-=rhl;
     a[j+k+i]=x-y; if (a[j+k+i]<) a[j+k+i]+=rhl;
       }
   }
   if (f==) return; reverse(a+,a+n); RG int inv=qpow(n,rhl-);
   for (RG int i=;i<n;++i) a[i]=1LL*a[i]*inv%rhl;
   return;
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("robot.in","r",stdin);
   freopen("robot.out","w",stdout);
 #endif
   cin>>n; pre();
   for (RG int i=;i<=n;++i)
     c[i]=1LL*fac[i<<]*ifac[i]%rhl*ifac[i]%rhl*inv[i+]%rhl;
   for (m=;m<=(n<<);m<<=) ++lg; a[]=;
   for (RG int i=;i<=n;++i) if (!(i&)) a[i]=1LL*c[i>>]*ifac[i]%rhl;
   for (RG int i=;i<m;++i) rev[i]=rev[i>>]>>|((i&)<<(lg-));
   NTT(a,m,); for (RG int i=;i<m;++i) a[i]=1LL*a[i]*a[i]%rhl;
   NTT(a,m,-); for (RG int i=;i<=n;++i) a[i]=1LL*a[i]*fac[i]%rhl;
   for (RG int i=;i<=n;++i)
     ans=(ans+1LL*a[i]*fac[n]%rhl*ifac[i]%rhl*ifac[n-i])%rhl;
   printf("%d\n",ans); return ;
 }