[HZOI 2015]疯狂的机器人

【题目描述】

现在在二维平面内原点上有一只机器人

他每次操作可以选择向右走，向左走，向下走，向上走和不走(每次如果走只能走一格）

但是由于本蒟蒻施展的大魔法，机器人不能走到横坐标是负数或者纵坐标是负数的点上

否则他就会big bang

给定操作次数n，求有多少种不同的操作序列使得机器人在操作后会回到原点

输出答案模998244353后的结果

注意如果两个操作序列存在某一时刻操作不同，则我们认为这两个操作序列不同

【输入格式】

输入n，表示操作次数

n<=100000

【输出格式】

按要求输出答案

【样例输入】

3

【样例输出】

7

【提示】

样例解释：

机器人有7种操作序列

1、不走 不走 不走

2、不走 向右 向左

3、向右 不走 向左

4、向右 向左 不走

5、不走 向上 向下

6、向上 不走 向下

7、向上 向下 不走

将操作分3类：向上下，向左右，不动
$f[i]$表示只考虑前两类走i步到原点的方案数
$$f[n]=\sum_{i=0}^{n}a[i]*a[n-i]*\binom{n}{i}$$
$a[i]$表示向上向下(或向左向右)走i步回到原点的方案数
显然i为偶数时才有方案否则$a[i]$为0
然后不动就直接枚举f
$$ans=\sum_{i=0}^{n}f[i]*\binom{n}{i}$$
$a[i]$显然就是卡特兰数第$i/2$项
因为任意时刻向上的前缀和总是大于向下的
至于卷积就直接把组合数拆开，把分母分到a上，即：
$$a[i]=C[i/2]*i!^{-1}$$
NTT求出f后再乘上$n!$

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef int lol;
 const int N=;
 int Mod=;
 int G=;
 int a[*N],fac[*N],R[*N],ifac[*N],inv[*N],c[*N],f[*N],ans;
 int qpow(int x,int y)
 {
   int res=;
   while (y)
     {
       if (y&) res=1ll*res*x%Mod;
       x=1ll*x*x%Mod;
       y>>=;
     }
   return res;
 }
 void NTT(int *A,int len,int o)
 {int wn,w,i,j,k,x,y;
   for (i=;i<len;i++)
     if (i<R[i]) swap(A[i],A[R[i]]);
   for (i=;i<len;i<<=)
     {
       wn=qpow(G,(Mod-)/(i<<));
       if (o==-) wn=qpow(wn,Mod-);
       for (j=;j<len;j+=(i<<))
     {
       w=;
       for (k=;k<i;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
         {
           x=A[j+k];y=1ll*w*A[j+k+i]%Mod;
           A[j+k]=x+y;
           if (A[j+k]>=Mod) A[j+k]-=Mod;
           A[j+k+i]=x-y;
           if (A[j+k+i]<) A[j+k+i]+=Mod;
         }
     }
     }
   if (o==-)
     {
       int tmp=qpow(len,Mod-);
       for (i=;i<len;i++)
     A[i]=1ll*A[i]*tmp%Mod;
     }
 }
 int main()
 {
   int i,len,lg,n;
   scanf("%d",&n);
   memset(a,,sizeof(a));
   fac[]=fac[]=ifac[]=ifac[]=inv[]=;
   for (i=;i<=n*;i++)
     {
       inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
       fac[i]=1ll*fac[i-]*i%Mod;
       ifac[i]=1ll*ifac[i-]*inv[i]%Mod;
     }
   for (i=;i<=n;i++)
     c[i]=1ll*fac[i<<]*ifac[i]%Mod*ifac[i]%Mod*inv[i+]%Mod;
   a[]=;
   for (i=;i<=n;i++)
     if ((i&)==)
       a[i]=1ll*c[i>>]*ifac[i]%Mod;
   len=;
   while (len<=*n) len*=,lg++;
   for (i=;i<len;i++)
     R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(lg-));
   NTT(a,len,);
   for (i=;i<len;i++)
     a[i]=1ll*a[i]*a[i]%Mod;
   NTT(a,len,-);
   for (i=;i<=n;i++)
     f[i]=1ll*a[i]*fac[i]%Mod;
   for (i=;i<=n;i++)
     ans=1ll*(ans+1ll*f[i]*fac[n]%Mod*ifac[i]%Mod*ifac[n-i]%Mod)%Mod;
   printf("%d\n",ans);
   return ;
 }