HDU 4752 Polygon（抛物线长度积分）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4752

题意：给出一个抛物线和一个简单多边形。求抛物线在多边形内部的长度。

思路：首先求出多边形所有边和抛物线的交点。这里要注意：

（1）边和抛物线相切不算，因为整个抛物线在边的另一侧；

（2）如下，上面两种相交都是不能算的，下面一种要算。

算出所有交点之后，那么每相邻两个交点与抛物线的关系必然是抛物线交替进入-离开。下面对于一段[x1,x2]计算抛物线的长度。

struct point
{
    double x,y;

    void get()
    {
        cin>>x>>y;
    }

    point(){}
    point(double _x,double _y)
    {
        x=_x;
        y=_y;
    }

    point operator+(point a)
    {
        return point(x+a.x,y+a.y);
    }

    point operator-(point a)
    {
        return point(x-a.x,y-a.y);
    }

    point operator*(double t)
    {
        return point(x*t,y*t);
    }
};

point p[N];
int n;
double L,R,a,b,c;

int sgn(double x)
{
    if(x>1e-8) return 1;
    if(x<-1e-8) return -1;
    return 0;
}

vector<double> V;

double func(double x)
{
    return a*x*x+b*x+c;
}

void deal(point p,point q)
{

    if(sgn(p.x-q.x)==0)
    {
        double y=func(p.x);
        if(p.y>q.y) swap(p,q);
        if(sgn(y-p.y)>0&&sgn(y-q.y)<0) V.pb(p.x);
        return;
    }

    double k=(q.y-p.y)/(q.x-p.x);
    double A=a;
    double B=b-k;
    double C=c+k*p.x-p.y;
    double temp=B*B-4*A*C;
    if(sgn(temp)<=0) return;
    temp=sqrt(temp);
    double x1=(-B-temp)/(2*A);
    double x2=(-B+temp)/(2*A);
    if(p.x>q.x) swap(p,q);
    if(sgn(x1-p.x)>0&&sgn(x1-q.x)<0) V.pb(x1);
    if(sgn(x2-p.x)>0&&sgn(x2-q.x)<0) V.pb(x2);
}

void deal(point p1,point p,point p2)
{
    if(sgn(func(p.x)-p.y)) return;
    p1=p+(p1-p)*1e-3;
    p2=p+(p2-p)*1e-3;
    if(sgn(func(p1.x)-p1.y)*sgn(func(p2.x)-p2.y)==-1) V.pb(p.x);
}

double cal(double x)
{
    double A=4*a*a;
    double B=4*a*b;
    double C=b*b+1;

    double temp=A*x*x+B*x+C;
    return (2*A*x+B)/(4*A)*sqrt(temp)+(4*A*C-B*B)/(8*A*sqrt(A))*log(fabs(2*A*x+B+2*sqrt(A)*sqrt(temp)));
}

double cal(double l,double r)
{
    if(l<L) l=L;
    if(r>R) r=R;
    if(l>=r) return 0;
    return cal(r)-cal(l);
}

int main()
{
    Rush(n)
    {
        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&L,&R);
        int i;
        FOR0(i,n) p[i].get();
        p[n]=p[0]; p[n+1]=p[1];
        V.clear();
        FOR0(i,n) deal(p[i],p[i+1]);
        FOR1(i,n) deal(p[i-1],p[i],p[i+1]);
        sort(V.begin(),V.end());
        double ans=0;
        for(i=0;i+1<SZ(V);i+=2) ans+=cal(V[i],V[i+1]);
        PR(ans);
    }
}