计算几何/半平面交


  本来我是想去写POJ 1755的,然后想起了这道跟它很像的题,但应该是弱化版,所以就先写了这个……

  我们可以发现每个人的总用时,与k是呈一次函数关系的:$time_i=\frac{k}{Vrun_i}+\frac{S-k}{Vride_i}$

  然而我们要找的是某个k,使得$min(time_n-time_i)$最大

  那么就是一个线性规划问题了……这个也可以用半平面交来做……(蒟蒻并不会单纯形)

  下面的部分为了偷懒简洁我就用$a_i$和$b_i$来代替两种速度……

  我一开始想的做法是:维护一个$y=(\frac{1}{a_i}-\frac{1}{b_i})*x+\frac{S}{b_i}$的最小值(上凸壳?),然后由于线性分段函数的极值一定在分界点处取到(BZOJ 1038 瞭望塔),所以可以枚举分界点计算答案。

  然而不会写……后来膜拜了lyd神犇的代码,发现:

    这题$n\leq 100$,所以找到可能成为分界点的点,即所有直线的交点,暴力更新答案就好了……

    然后还有一个地方是将不等式重新变形了一下,将第n条直线直接减到前面n-1条直线中……

  无限ym……

 /**************************************************************
Problem: 2765
User: Tunix
Language: C++
Result: Accepted
Time:40 ms
Memory:1276 kb
****************************************************************/ //BZOJ 2765
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
using namespace std; const int N=;
/*******************template********************/
typedef long double lf;
#define eps 1e-12
int n,num;
lf a[N],b[N],c[N],d[N],S,anst,ansk; void calc(lf k){
lf t=1e100;
F(i,,n-) t=min(t,k*c[i]+d[i]);
if (t>anst) anst=t,ansk=k;
} int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("2765.in","r",stdin);
// freopen("2765.out","w",stdout);
#endif
cin >>S>>n;
F(i,,n) cin >> a[i] >> b[i];
F(i,,n-){
c[i]=/a[i]-/b[i]-/a[n]+/b[n];
d[i]=S/b[i]-S/b[n];
} anst=-1e100;
F(i,,n-) F(j,i+,n-){
if (fabs(c[i]-c[j])<eps) continue;
lf k=(d[j]-d[i])/(c[i]-c[j]);
if (k<eps || k>S-eps) continue;
calc(k);
}
calc(); calc(S);
anst*=;
if (anst<-eps) puts("NO");
else{
if (anst<eps) anst=;
cout<<setprecision()<<fixed<<ansk<<' '<<S-ansk<<' ';
cout<<setprecision()<<fixed<<anst<<endl;
}
return ;
}

2765: [JLOI2010]铁人双项比赛

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Description


人双项比赛是吉林教育学院的一项传统体育项目。该项目比赛由长跑和骑自行车组成,参赛选手必须先完成k公里的长跑,然后完成r公里的骑车,才能到达终点。
每个参赛选手所擅长的项目不同,有的擅长长跑,有的擅长骑车。如果总赛程s=k+r一定,那么K越大,对擅长长跑的选手越有利;k越小,对擅长骑车的选手
越有利。
 
现在给定总赛程s,以及每个选手长跑和骑车的平均速度,请你求出对于某个指定的选手最有利的k和r。所谓最有利,是指选择了这个k和r后,该选手可以获得冠军,且领先第2名尽量地多。

Input

你的程序从文件读入输入数据。
输入的第一行是两个正整s和n,s表示总赛程(单位为公里,s≤231),n表示参赛总人数(2≤n≤100)。
接下来的n行每行是两个实数,分别表示每个选手长跑的平均速度和骑车的平均速度(单位为千米/小时)。
第n个选手就是指定的选手,你的任务是求出对他最有利的k和r。

Output

 
你的程序的输出包括三个数k,r, t,分别表示对第n号选手最有利的k和r(浮点数,保留小数点后2位),以及在选择k和r的情况下,第n号选手最多可以领先第2名多少秒(四舍五入到整数);如果另一个选手和该选手并列第一,则t i=0。倘若无论选择什么k,r都不能使第n号选手获胜,则输出“NO”。

Sample Input

100 3
10.0 40.0
20.0 30.0
15.0 35.0

Sample Output

14.29 85.71 612

HINT

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