Number Theory: The set of Real实数系构造：实数公理化(R, +, ×, ≥)之Field/Order/Continuity + Dedekind分割

limit极限理论: 建立在 R完备性公理化的实数集: Set theory集合论之上的

即: limit 极限 是 x, y 的 Macro/Micro、动态变化/静态关系、无限/有限、量变/质变、过程/结果，绝对/相对, 任意(不确定性)/规律(确定性)，的统一

limit数量化(∀ϵ∃δ的Karl Weierstrass的Quantitative语言)理论:

lim x→c⁡ f⁢(x) = L: ∀ ϵ>0, ∃ δ>0 S.T. for all x≠c, if |x-c|<δ, then |f⁢(x)-L|<ϵ .

Number Theory + Set Theory: The set of Real实数系构造

实数公理化(R, +, ×, ≥)之Field/Order/Continuity

F(域)：定义 +, ×, ≥：

+: 加法的 交换律、结合律、0单位元、负元

×: 乘法的 交换律、结合律、1单位元、逆元、乘法×对加法+的分配律

O(序≥):

全序性: x ≥ y OR y ≤ x 必有其一(或x>y, x==y, x<y)

对称: x ≥ y AND y ≤ x 则有 x = y

传递性: x ≥ y AND y ≥ z 则有 x ≥ z

加法+的保序性: x ≥ 0 AND y ≥ 0 则有 x+y ≥ 0

乘法×的保序性: x ≥ 0 AND y ≥ 0 则有 x×y ≥ 0

C(连续性):

• Archimedes阿基米德性: giving any Real numbers p and q, existing one of Integer number n, Satisfactory that: n * p > q.
• 序同构唯一性: (R, +，×，≤): 假设分别以两种方法构造出 Real实数集 X 与 Y, 则: X, Y 与 R实数集序同构，且 X, Y 与 R 完全相同。

Dedekind分割 在Q有理数集上构造出 R实数集:

首先是在 Q(Rational Number) 有理数集上，以分割的方式构造出 R(Real Number):

以下几条将 Q 分割为 L(下集) 与 U(上集) 两部分：

• 不空：L 与 U 都非空集(L ≠ 空集 且 L ≠ Q);
• 不漏：L ∪ U = Q;
• 不乱：L ＜ U ( L 的任意元数 小于 U 的任意元数);
• 不限：L 没有最大元数.

因为 “_L_不限”(没有最大元数), 所以 U 只可能有两种情况, 确定分割点 QP (Quantum Point)：

• 没有最小元数 时为 无理分割；分割点_QP_是一个无理数点(不能用Q有理数定义表示); 所有无理分割点组成 (R-Q)无理数集合;
• 有最小元数 时为 有理分割；分割点_QP_ ∈ U ⊂ Q 是一有理数点(_U_的最小元数); 所有的有理数点组成有理数集合 Q。

则此种集合划分为 Dedekind分割 , 一次分割得一个 实数(有理数或无理数) ，所有的分割集合，即是 R 实数集。

可将分割形象比喻为：对 Q 有理数集,

用量子刀(Quantum Knife, 厚度 只有 可测度的最小厚度, 即一个数(点)厚的刀) 切割一刀,

将有： L(下集), QP(分割点, Quantum Point), U(上集)三部分:

1. L 和 U 都是非空集合，Q = L U {QP} U U;
2. L 的任意元，都小于 U 的任意元;
3. L 无最大值，U 无最小值, 两者都可以用 Epsilon-Delta 语言描述及证明;
4. QP 是实数(可能是无理数 或 有理数), 所有可能的 QP 构成 R 实数集.

Dedekind分割构造出的实数集上定义“O(Order序)”:

定义实数集上的Order序：

集合序 定义 对 X 和 Y 两个集合，定义 X ≥ Y 为 Y 是 X 的子集;

集合序 与 数序 的一致性: 两次 Dedekind分割 确定两个量子点 QP1 与 QP2,

上界与上确界：

对于给定的非空实数集 A, 与 实数 x,

对于A的任意元 a, 都有满足 a ≤ x ,

则称 x 为 非空实数集的 上界；由所有 _x_构成的实数集合_X_为其上界集；

如果实数 x0 是_A_的 上界之一，而且对_A_的任一上界实数_y_，都有 y ≥ x0,

或 简要表达为 x0 是 _A_的 最小上界,

则称 x0 是非空实数集 A 的上确界, 记为 sup( A );

如果 A 包含 x0，则 x0 是 A 的最大值，记为 max( A )

Giving Real number set A, and Real number x,

for any one element of A as a, such that:

a ≤ x

then we call x the upper bound of real number set A