【bzoj4184】shallot 线段树+高斯消元动态维护线性基

题目描述

小苗去市场上买了一捆小葱苗，她突然一时兴起，于是她在每颗小葱苗上写上一个数字，然后把小葱叫过来玩游戏。

每个时刻她会给小葱一颗小葱苗或者是从小葱手里拿走一颗小葱苗，并且

让小葱从自己手中的小葱苗里选出一些小葱苗使得选出的小葱苗上的数字的异或和最大。

这种小问题对于小葱来说当然不在话下，但是他的身边没有电脑，于是他打电话给同为Oi选手的你，你能帮帮他吗？

你只需要输出最大的异或和即可，若小葱手中没有小葱苗则输出0。

输入

第一行一个正整数n表示总时间；第二行n个整数a1,a2...an，若ai大于0代表给了小葱一颗数字为ai的小葱苗，否则代表从小葱手中拿走一颗数字为-ai的小葱苗。

输出

输出共n行，每行一个整数代表第i个时刻的最大异或和。

样例输入

6
1 2 3 4 -2 -3

样例输出

1
3
3
7
7
5

---

题解

线段树+高斯消元动态维护线性基

由于线性基不支持删除操作，所以我们需要离线来处理。

我们注意到每个数出现的时间都是一段连续的区间，所以可以使用map维护每个数的开始时间和结束时间，并在这一段区间上插入这个数。

我们肯定不能暴力在每个时间点上插入，所以需要线段树来降低时间复杂度。

在线段树的每个节点上开一个vector，存储这个区间的线性基。对于每个操作，在对应的vector上使用高斯消元动态维护线性基。

查询时，可以遍历整棵线段树，对于叶子结点直接使用贪心的方法查询并输出。但是如果将父亲节点的线性基暴力插入到儿子节点的话会导致MLE，于是需要记录一个新的节点，每次相当于将该节点的线性基插入到这个新的节点中。具体见代码。

时间复杂度$O(n\log^2n)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#define N 500010
using namespace std;
struct data
{
    vector<int> v;
    void insert(int x)
    {
        int i;
        for(i = 0 ; i < v.size() ; i ++ )
            if((x ^ v[i]) < x)
                x ^= v[i];
        if(x)
        {
            v.push_back(x);
            for(i = v.size() - 1 ; i ; i -- )
            {
                if(v[i] > v[i - 1]) swap(v[i] , v[i - 1]);
                else break;
            }
        }
    }
    int calc()
    {
        int i , ans = 0;
        for(i = 0 ; i < v.size() ; i ++ )
            if((ans ^ v[i]) > ans)
                ans ^= v[i];
        return ans;
    }
}S[N << 2] , emp;
map<int , int> f;
int a[N];
void update(int b , int e , int a , int l , int r , int x)
{
    if(b <= l && r <= e)
    {
        S[x].insert(a);
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(b <= mid) update(b , e , a , l , mid , x << 1);
    if(e > mid) update(b , e , a , mid + 1 , r , x << 1 | 1);
}
void query(int l , int r , int x , data t)
{
    int i , mid = (l + r) >> 1;
    for(i = 0 ; i < S[x].v.size() ; i ++ ) t.insert(S[x].v[i]);
    if(l == r)
    {
        printf("%d\n" , t.calc());
        return;
    }
    query(l , mid , x << 1 , t) , query(mid + 1 , r , x << 1 | 1 , t);
}
int main()
{
    int n , i , x;
    scanf("%d" , &n);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        scanf("%d" , &a[i]);
        if(a[i] > 0) f[a[i]] = i;
        else update(f[-a[i]] , i - 1 , -a[i] , 1 , n , 1) , f[-a[i]] = 0;
    }
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
        if(a[i] > 0 && f[a[i]])
            update(f[a[i]] , n , a[i] , 1 , n , 1);
    query(1 , n , 1 , emp);
    return 0;
}