hdu1506 直方图中最大的矩形 单调栈入门

hdu1506 直方图中最大的矩形 单调栈入门

直方图是由在公共基线对齐的矩形序列组成的多边形。矩形具有相同的宽度，但可能具有不同的高度。例如，左侧的数字显示了由高度为2,1,4,5,1,3,3的矩形组成的直方图，单位为1，其中矩形的宽度为1：

通常，直方图用于表示离散分布，例如文本中字符的频率。请注意，矩形的顺序，即它们的高度很重要。计算在公共基线上对齐的直方图中最大矩形的面积。右图显示了所描述的直方图的最大对齐矩形。

输入包含几个测试用例。每个测试用例都描述一个直方图，并以整数n开头，表示它组成的矩形的数量。您可以假设1 <= n <= 100000。然后遵循n个整数h1，...，hn，其中0 <= hi <= 1000000000。这些数字表示直方图的矩形的高度，从左到右订购。每个矩形的宽度是1.零跟在最后一个测试用例的输入之后。对于每个测试用例，在一行中输出指定直方图中最大矩形的面积。请记住，这个矩形必须在公共基线上对齐。

单调栈，就是具有单调性质的栈，用途与单调队列有相似之处。我们先来分析一下这道题。一个最大矩阵的高度，就是矩阵覆盖到的，高度最小的条形的高度。所以我们只需要枚举每个条形作为高度最小的条形，所能形成的最大矩阵，然后取最大值即可。

那么现在，问题就转换成了对于每个条形，以它的高度作为矩阵的高度，矩阵最多能向左和向右延伸到的高度，相当于求这个矩阵，左边有连续多少个矩阵比它高，右边有连续多少个矩阵比它高。所以，长度就是：(右边第一个比它小的条形的位置-左边第一个比它小的条形的位置-1)。如何求第一个比当前数小的左侧或右侧数呢？这就要用到单调栈。

设第一个比当前数（序号为i）小的左侧数为\(left[i]\)。算法的流程是这样的：设现在程序循环到第i个数，如果当前，栈顶的数大于等于第i个数，说明什么？说明序号i以后的数j，它们的\(left[j]\)一定不会是栈顶那个数，因为选了j一定能选i。既然这样，直接把j从栈中弹出，然后继续判断……直至第i个数遇到比它小的栈顶的数。这个数就是\(left[i]\)，因为比i小的数只会被更小更优的数替换。然后，将i入栈。这样就把那些无用的，值大于第i个数，却在第i个数左边的数统统用第i个数替换了。这就去除了冗余状态。

从这道题，我们能发现一些单调栈和单调队列的共同点和不同点。共同点：1.它们都保持了单调性。2.它们都通过一个元素必定比其它优，就可以直接删去其他元素的方法，去除了冗余状态。3.由于元素都是一进一出，时间复杂度为O(n)。不同点：单调队列，最优值和插入操作在队首，在弹出操作在队尾。单调栈，最优值，插入操作和弹出操作都在栈顶。

#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5;
typedef long long LL;
struct stack{
    int t, a[maxn];
    void reset(){ t=0; }
    void pop(){ if (--t==-1) ++t; }
    void add(int x){ a[++t]=x; }
    int top(){ return a[t]; }
}s;

int n;
int a[maxn], lessleft[maxn], lessright[maxn];

int max(const int &a, const int &b){ return a<b?b:a; }
LL max(const LL &a, const LL &b){ return a<b?b:a; }

int main(){
    while (scanf("%d", &n), n){
        a[0]=a[n+1]=-1;
        s.reset(); s.add(0);
        for (int i=1; i<=n; ++i){
            scanf("%d", &a[i]);
            while (a[i]<=a[s.top()]) s.pop();
            lessleft[i]=s.top(); s.add(i);
        }
        s.reset(); s.add(n+1);
        for (int i=n; i>=1; --i){
            while (a[i]<=a[s.top()]) s.pop();
            lessright[i]=s.top(); s.add(i);
        }
        LL maximum=0;
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            maximum=max(maximum,
                LL(lessright[i]-lessleft[i]-1)*a[i]);
        printf("%lld\n", maximum);
    }
    return 0;
}