cf 472G Design Tutorial: Increase the Constraints 分块+压位/FFT

题目大意

给出两个\(01\)序列\(A\)和\(B\)

哈明距离定义为两个长度相同的序列中，有多少个对应位置上的数字不一样

"00111" 和 "10101"的距离为2

\(Q\)次询问，每次询问给出\(p_1,p_2,len\)

求\(a{p_1},a{p_1+1}...a_{p_1+len-1}\) 和 \(b_{p_1},b_{p_1+1}...b_{p_1+len-1}\)两个子串的哈明距离

注意：本题中的序列是从\(0\)开始编号的：\(a_0,a_1,...,a_{n-1}\)

\(1\leq |A|.|B|\leq 2*10^5,1\leq Q\leq 4*10^5\)

\(0 \leq p_1 \leq |a| - len\),\(0 \leq p_2 \leq |b| - len\)

分析

哈明距离可以转化成异或后有多少个\(1\)

考虑如何快速的比较两个字符串

我们先求出每个位置往后\(32\)位/\(64\)位的压位后的值

这样之后再暴力的复杂度就变成了\(\frac {len} {32}\)

我们再考虑对\(A\)串分块

每长度\(T\)分一块

预处理\(dif[i][j]\)表示\(A\)中第\(i\)块整个块和 \(B\)中\(j\)开始的长度为\(T\)的串的哈明距离

\(O(\frac n T *m *\frac T {32})=O(\frac {n*m} {32})\)

对于询问

左右两边暴力扫\(O(T)\)

中间块内的用预处理直接求\(O(\frac n T)\)

算出来\(T=\sqrt n\)最优

同时T要是\(32\)/\(64\)的倍数

原题空间256M好像开不到\(n*\sqrt n\)的数组要调调参数

优化

块内的复杂度\(O(\frac {n*m} {32})\)小心脏承受不住

可以用FFT优化

s[i]==1的FFT数组中设为1，否则设为-1

将块中串反过来，卷积一波

求出来的值就是\(同-异\)

而块的大小为\(同+异\)

\(\frac {同+异-(同-异)} 2=异\)

这样就可以不用1算一次，0算一次再用总数减常数那么大了

结果越跑越慢

各种调参数到5000左右最快了

组合

如果两个算法合起来就完美了(越写越慢还好意思说)

注意

unsigned满位后左移一位可以看作把最高位扔掉后左移一位

bitset的count()是暴力

正确姿势：预处理1<<16内每个数有多少个1，分段算

FFT有负数用round()取整

solution（分块+压位）

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#include <bitset>

using namespace std;

typedef unsigned long long ull;

const int S=450;

const int M=200003;

const int N=1<<16;

inline int rd(){

	int x=0;bool f=1;char c=getchar();

	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;

	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;

	return f?x:-x;

}

char s[M];

char t[M];

int n,m,Q;

int sn,MX;

int cnt[N];

ull aw[M],bw[M];

int dif[S][M];

int loc(int x){

	return x/sn+1;

}

int getL(int x){

	return (x-1)*sn;

}

int getR(int x){

	return x*sn-1;

}

int getP(int x){

	int L=getL(loc(x));

	return x-L+1;

}

int main(){

	int i,j,k,BL,BR,L,R,x,y,z,len;

	scanf("%s%s",s,t);

	n=strlen(s); m=strlen(t);

	sn=448; MX=loc(n);

	for(i=0;i<N;i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);

	for(i=0;i+63<n;i++)

		for(j=i;j<i+64;j++)

			aw[i]=aw[i]<<1|(s[j]=='1');

	for(i=0;i+63<m;i++)

		for(j=i;j<i+64;j++)

			bw[i]=bw[i]<<1|(t[j]=='1');

	int ful=N-1;

	for(i=1;i<=MX;i++){

		L=getL(i);

		if(L+sn-1>=n) break;

		for(j=0;j+sn-1<m;j++){

			x=L,y=j;

			for(k=7;k>0;k--){

				ull tp=aw[x]^bw[y];

				dif[i][j]+=cnt[tp&ful]+cnt[tp>>16&ful]+cnt[tp>>32&ful]+cnt[tp>>48];

				x+=64; y+=64;

			}

		}

	}

	Q=rd();

	int ans;

	while(Q--){

		ans=0;

		x=rd(),z=rd(),len=rd();

		y=x+len-1;

		BL=loc(x); BR=loc(y);

		if(BL+1>=BR){

			for(i=x;i<=y;i++) ans+=s[i]!=t[z+i-x];

		}

		else{

			if(getL(BL)!=x) BL++;

			if(getR(BR)!=y) BR--;

			L=getL(BL); R=getR(BR);

			for(i=BL;i<=BR;i++)

				ans+=dif[i][z+getL(i)-x];

			for(i=x;i<L;i++) ans+=s[i]!=t[z+i-x];

			for(i=y;i>R;i--) ans+=s[i]!=t[z+i-x];

		}

		printf("%d\n",ans);

	}

	return 0;

}

solution（分块+FFT）

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <cmath>

#include <algorithm>

using namespace std;

typedef double db;

const int N=262144;

const int S=207;

const int M=200003;

const db pi=acos(-1.0);

inline int rd(){

	int x=0;bool f=1;char c=getchar();

	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;

	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;

	return f?x:-x;

}

char s[M];

char t[M];

int rev[N];

int n,m,Q;

int sn,MX;

struct CP{

	db x,i;

	CP(db xx=0.0,db ii=0.0){x=xx;i=ii;}

}a[N],b[N],c[N];

CP operator +(CP x,CP y){return CP(x.x+y.x,x.i+y.i);}

CP operator -(CP x,CP y){return CP(x.x-y.x,x.i-y.i);}

CP operator *(CP x,CP y){return CP(x.x*y.x-x.i*y.i,x.i*y.x+x.x*y.i);}

void FFT(CP *a,int fl){

	int i,j,k;

	CP W,Wn,u,v;

	for(i=0;i<N;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);

	for(i=2;i<=N;i<<=1){

		Wn=CP(cos(2*pi/i),fl*sin(2*pi/i));

		for(j=0;j<N;j+=i){

			W=CP(1,0);

			for(k=j;k<j+i/2;k++,W=W*Wn){

				u=a[k];

				v=a[k+i/2]*W;

				a[k]=u+v;

				a[k+i/2]=u-v;

			}

		}

	}

	if(fl==1) return ;

	for(i=0;i<N;i++) a[i].x/=N;

}

int dif[S][M];

int loc(int x){

	return x/sn+1;

}

int getL(int x){

	return max(1,(x-1)*sn);

}

int getR(int x){

	return min(n,x*sn-1);

}

int getP(int x){

	int L=getL(loc(x));

	return x-L+1;

}

int main(){

	int i,j,BL,BR,L,R,x,y,z,len;

	scanf("%s%s",s+1,t+1);

	n=strlen(s+1); m=strlen(t+1);

	sn=5000; MX=loc(n);

	for(i=0;i<N;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(N>>1):0);

	for(i=1;i<=m;i++) b[i]=(t[i]=='1')?1:-1;

	FFT(b,1);

	for(i=1;i<=MX;i++){

		L=getL(i);

		R=getR(i);

		for(j=0;j<N;j++) a[j]=CP();

		int tt=0;

		for(j=R;j>=L;j--) a[++tt]=(s[j]=='1')?1:-1;

		FFT(a,1);

		for(j=0;j<N;j++) c[j]=a[j]*b[j];

		FFT(c,-1);

		int sss=R-L+1;

		for(j=1;j<=m;j++) dif[i][j]=(sss-round(c[j+sss].x))/2;

	}

	Q=rd();

	int ans;

	while(Q--){

		ans=0;

		x=rd(),z=rd(),len=rd();

		x++;z++;//ÎÒ´Ó 1 ´æ

		y=x+len-1;

		BL=loc(x);BR=loc(y);

		if(BL+1>=BR){

			for(i=x;i<=y;i++) ans+=(s[i]!=t[z+i-x]);

		}

		else{

			if(getL(BL)!=x) BL++;

			if(getR(BR)!=y) BR--;

			L=getL(BL); R=getR(BR);

			for(i=x;i<L;i++) ans+=(s[i]!=t[z+i-x]);

			for(i=BL;i<=BR;i++)

				ans+=dif[i][z+getL(i)-x];

			for(i=y;i>R;i--) ans+=(s[i]!=t[z+i-x]);

		}

		printf("%d\n",ans);

	}

	return 0;

}