ID3算法（1）

　　1 简述

1.1
    id3是一种基于决策树的分类算法，由J.Ross Quinlan
在1986年开发。id3根据信息增益，运用自顶向下的贪心策略
建立决策树。信息增益用于度量某个属性对样本集合分类的好坏程度。
由于采用了信息增益，id3算法建立的决策树规模比较小，
查询速度快。id3算法的改进是C4.5算法，C4.5算法可以
处理连续数据，采用信息增益率，而不是信息增益。
理解信息增益，需要先看一下信息熵。

1.2 信息熵
    信息熵是随机变量的期望。度量信息的不确定程度。
信息的熵越大，信息就越不容易搞清楚。处理信息就是
为了把信息搞清楚，就是熵减少的过程。
    Entropy(X) = -Sum(p(xi) * log(p(xi))) {i: 0 <= i <= n}
    p(x)是概率密度函数；对数是以2为底；

1.3 信息增益
    用于度量属性A降低样本集合X熵的贡献大小。信息增益
越大，越适于对X分类。
    Gain(A, X) = Entropy(X) - Sum(|Xv| / |X| * Entropy(Xv))  {v: A的所有可能值}
    Xv表示A中所有为v的值；|Xv|表示A中所有为v的值的数量；

2 id3算法流程
    输入：样本集合S，属性集合A
    输出：id3决策树。
    1) 若所有种类的属性都处理完毕，返回；否则执行2）
    2）计算出信息增益最大属性a，把该属性作为一个节点。
        如果仅凭属性a就可以对样本分类，则返回；否则执行3）
    3）对属性a的每个可能的取值v，执行一下操作：
        i.  将所有属性a的值是v的样本作为S的一个子集Sv；
        ii. 生成属性集合AT=A-{a};
        iii.以样本集合Sv和属性集合AT为输入，递归执行id3算法；

3 一个的例子
    3.1
    这个例子来源于Quinlan的论文。
    假设，有种户外活动。该活动能否正常进行与各种天气因素有关。
    不同的天气因素组合会产生两种后果，也就是分成2类：能进行活动或不能。
    我们用P表示该活动可以进行，N表示该活动无法进行。
    下表描述样本集合是不同天气因素对该活动的影响。

                     Attribute                       class
    outlook    temperature    humidity    windy 
    ---------------------------------------------------------
    sunny       hot             high           false       N
    sunny       hot             high           true         N
    overcast   hot             high           false       P
    rain           mild           high           false       P
    rain           cool           normal      false       P
    rain           cool           normal      true         N
    overcast   cool           normal      true         P
    sunn y      mild           high           false       N
    sunny       cool           normal      false       P
    rain           mild           normal      false       P 
    sunny       mild           normal      true         P 
    overcast   mild           high           true         P 
    overcast   hot             normal      false       P 
    rain           mild           high           true        N

    3.2
    该活动无法进行的概率是：5/14
    该活动可以进行的概率是：9/14
    因此样本集合的信息熵是：-5/14log(5/14) - 9/14log(9/14) = 0.940

    3.3
    接下来我们再看属性outlook信息熵的计算：
    outlook为sunny时，
    该活动无法进行的概率是：3/5
    该活动可以进行的概率是：2/5
    因此sunny的信息熵是：-3/5log(3/5) - 2/5log(2/5) = 0.971

    同理可以计算outlook属性取其他值时候的信息熵：
    outlook为overcast时的信息熵：0
    outlook为rain时的信息熵：0.971

    属性outlook的信息增益：gain(outlook) = 0.940 - (5/14*0.971 + 4/14*0 + 5/14*0.971) = 0.246

    相似的方法可以计算其他属性的信息增益：
    gain(temperature) = 0.029
    gain(humidity) = 0.151
    gain(windy) = 0.048

    信息增益最大的属性是outlook。

    3.4
    根据outlook把样本分成3个子集，然后把这3个子集和余下的属性
    作为输入递归执行算法。

原文链接：http://blog.csdn.net/leeshuheng/article/details/7777722