【CF981F】Round Marriage（二分答案，hall定理）

传送门

题意：

给出一个长度为\(L\)的环，标号从\(0\)到\(L-1\)。

之后给出\(n\)个新郎，\(n\)个新娘离起点的距离。

现在新郎、新娘要一一配对，但显然每一对新人的产生都会走一定的距离\(d_i\)，求所有\(d_i\)中最大值最小是多少。

思路：

• 显然最后的答案具有单调性，故可以二分答案之后来判定。
• 二分最大时间\(x\)，那么只添加距离不超过\(x\)的边，做个最大匹配即可。
• 但因为\(n\)达到\(2e5\)，显然匈牙利算法不可行。
• 考虑\(hall\)定理：若一个二分图存在完美匹配，那么对于左边任意子集\(S\)，其对应边连接了一个点集\(T\)，那么有\(|S|\leq |T|\)。
• 但\(hall\)定理考虑的是集合，不好处理。这个题的二分图有一个特殊的地方，就是对于左边的一个点\(i\)，连接的一定是一段连续的区间\([l_i,r_i]\)。
• 根据\(hall\)定理，我们要判断不可行的话就需要找到一个点集\(S\)，最终\(|S|>|T|\)。考虑极小的一个子集\(|S|\)满足上述条件，也就是此时去掉任何一个点都不满足条件了，此时这个点集一定是连续的一些点，因为二分图的特殊性。
• 所以问题由点集转化为了：在二分图中，若有\(r-l>R_r-L_l\)，则不满足条件，移下项就有：\(r-R_r>l-L_l\)，然后随便维护一下即可。

感觉\(hall\)定理在某些情况下挺好用的？尤其是二分图比较特殊的情况，用来求最大匹配/判断最大匹配挺优秀的，通常都把问题转换成维护信息的问题。

代码实现将环变成链时有点细节，详见代码：

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/5 19:43:44
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 2e5 + 5;
int n, L;
ll a[N << 2], b[N << 2];

bool chk(int x) {
    int p1 = 1, p2 = 1;
    int mn = INF;
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
        while(p1 <= 4 * n && b[p1] < a[i] - x) ++p1;
        while(p2 <= 4 * n && b[p2] <= a[i] + x) ++p2;
        mn = min(mn, i - p1);
        int now = i - p2 + 1;
        if(mn < now) return false;
    }
    return true;
}

void run(){
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
    sort(a + 1, a + n + 1); sort(b + 1, b + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] += L, a[i + n] = a[i] + L;
    for(int i = 1; i <= 3 * n; i++) b[i + n] = b[i] + L;
    int l = 0, r = INF, mid;
    while(l < r) {
        mid = (l + r) >> 1;
        if(chk(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << l << '\n';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    while(cin >> n >> L) run();
	return 0;
}