[NOIp 2014]解方程

Description

已知多项式方程：

a0+a1x+a2x^2+..+anx^n=0

求这个方程在[1, m ] 内的整数解（n 和m 均为正整数）

Input

输入文件名为equation .in。

输入共n + 2 行。

第一行包含2 个整数n 、m ，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n+1 行每行包含一个整数，依次为a0,a1,a2..an

Output

输出文件名为equation .out 。

第一行输出方程在[1, m ] 内的整数解的个数。

接下来每行一个整数，按照从小到大的顺序依次输出方程在[1, m ] 内的一个整数解。

Sample Input1

Sample Output1

1

1

Sample Input2

Sample Output2

Sample Input3

Sample Output3

Hint

对于30%的数据:0<n<=2,|ai|<=100,an!=0,m<100

对于50%的数据:0<n<=100,|ai|<=10^100,an!=0,m<100

对于70%的数据:0<n<=100,|ai|<=10^10000,an!=0,m<10000

对于100%的数据:0<n<=100,|ai|<=10^10000,an!=0,m<1000000

题解

30/50分算法：

1、直接枚举，注意要用高精度。

2、复杂度$O(m*n^3)$。

70分算法：

1、常识告诉我们这种方程求整数解不会有什么正经解法，有也不是联赛内容；

2、选$k$个质数$p$，并让系数都对$p$取模，然后把$1$到$m$一个个带入验证看是不是为$0$。如果对于一个$x$，在所有取模意义下都满足方程，我们就认为这个$x$是原方程的一个解；

3、一个模数不够就多取几个质数，一般取到$5$就可以了；

4、因为没有了高精度，所以复杂度为$O(m*n*s)$， $s$为质数个数。

100分算法：

1、 $70$分做法的基础上，发现模数$p$如果取得比较小，会有个有用的信息：$x$取值$x_0$的答案和取值$x_0+p$的答案是一样的；实际上基于一个模同余式引理： $f(x)≡0(mod p)$，则$f(x+p)≡0(mod p)$

2、所以我们只需要预处理出$x$取值$0$~$p-1$时候的答案，再枚举$1$~$m$就可以直接查询了。

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 #include <set>

 #include <map>

 #include <cmath>

 #include <ctime>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <string>

 #include <cstdio>

 #include <vector>

 #include <cstdlib>

 #include <cstring>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

 #define LL long long

 using namespace std;

 const int N = ;

 const int M = ;

 const int p[] = {

     , , , , , , , , ,

 };

 int n, m;

 LL a[N+][];

 bool vis[M+];

 int ans[M+], cnt = ;

 void getdata(int x) {

     char ch = N;

     bool flag = ;

     while ((ch < '' || ch > '') && (ch != '-')) ch = getchar();

     if (ch == '-') {

         flag = ;

         ch = getchar();

     }

     while (ch >= '' && ch <= '') {

         for (int i = ; i < ; i++) a[x][i] = (a[x][i]*+ch-) % p[i];

         ch = getchar();

     }

     if (flag) for (int i = ; i < ; i++) a[x][i] *= -;

 }

 bool check2(int x, int kk) {

     LL v = a[n][kk];

     for (int i = n-; i >= ; i--)

         v = (v*x+a[i][kk])%p[kk];

     if (v) {

         int t = x;

         while (t <= m) {

             vis[t] = ;

             t += p[kk];

         }

         return false;

     }

     return true;

 }

 bool check(int x) {

     if (vis[x]) return false;

     for (int i = ; i <; i++)

         if (!check2(x, i)) return false;

     return true;

 }

 void work() {

     for (int i = ; i <= n; i++)

         getdata(i);

     for (int i = ; i <= m; i++)

         if (check(i)) ans[++cnt] = i;

     printf("%d\n", cnt);

     for (int i = ; i <= cnt; i++)

         printf("%d\n", ans[i]);

 }

 int main() {

     while (~scanf("%d%d", &n, &m))

         work();

     return ;

 }