【莫比乌斯反演】BZOJ1101 [POI2007]zap

Description

　　回答T组询问，有多少组gcd(x,y)=d，x<=a, y<=b。T, a, b<=4e5。

Solution

　　显然对于gcd=d的，应该把a/d b/d，然后转为gcd=1计算

　　计算用莫比乌斯反演相信大家都会

　　关键是有T组询问n^2会T

　　于是有这样一个优化可以做到每次sqrt(n)

　　

　　每一次是ret+=mu[i]*(n/i)*(m/i)

　　可是除法向下取整所以会导致很多i的(n/i)*(m/i)一样

　　具体来说，向下取整得到的结果一定是约数所以对于(n/i)最多2sqrt(n)种

　　那么(n/i)*(m/i)放一起也就4sqrt(n)种

　　这个序列一定是不上升的，所以考虑对所有的(n/i)*(m/i)视为一块相同的一起算

　　那么肯定要记录下mu[i]的前缀和

　　如何快速得到每一块的l和r？

　　每一块的r肯定要么n%i==0要么m%i==0

　　于是用pos=min(n/(n/i),m/(m/i)) 定位

　　当然pos+1就是下一块的l了

Code

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int maxn=5e4+;

 int flag[maxn],prime[maxn],cnt;
 int mu[maxn],sum[maxn];

 int getmu(){
     mu[]=;
     for(int i=;i<maxn;i++){
         if(!flag[i]){
             prime[++cnt]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(int j=;i*prime[j]<maxn&&j<=cnt;j++){
             flag[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==){
                 mu[i*prime[j]]=;
                 break;
             }
             mu[i*prime[j]]=-mu[i];
         }
     }
     for(int i=;i<maxn;i++)
         sum[i]=sum[i-]+mu[i];
 }

 int cal(int n,int m){
     int ret=,pos;
     if(n>m) swap(n,m);
     for(int i=;i<=n;i=pos+){
         pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
         ret+=(sum[pos]-sum[i-])*(n/i)*(m/i);
     }
     return ret;
 }

 int main(){
     int T,a,b,d;
     scanf("%d",&T);
     getmu();

     while(T--){
         scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
         a/=d,b/=d;
         printf("%d\n",cal(a,b));
     }
     return ;
 }