[HNOI2010]STONE取石头游戏

题目描述

A 公司正在举办一个智力双人游戏比赛----取石子游戏，游戏的获胜者将会获得 A 公司提供的丰厚奖金，因此吸引了来自全国各地的许多聪明的选手前来参加比赛。

与经典的取石子游戏相比，A公司举办的这次比赛的取石子游戏规则复杂了很多：

l 总共有N堆石子依次排成一行，第i堆石子有 ai个石子。

l 开始若干堆石子已被 A公司故意拿走。

l 然后两个玩家轮流来取石子，每次每个玩家可以取走一堆中的所有石子，但有一个限制条件：一个玩家若要取走一堆石子，则与这堆石子相邻的某堆石子已被取走(之前被某个玩家取走或开始被A公司故意拿走)。注意：第 1堆石子只与第 2堆石子相邻，第N堆石子只与第N-1堆石子相邻，其余的第 i堆石子与第i-1堆和第 i+1 堆石子相邻。

l 所有石子都被取走时，游戏结束。谁最后取得的总石子数最多，谁就获得了这场游戏的胜利。

作为这次比赛的参赛者之一，绝顶聪明的你，想知道对于任何一场比赛，如果先手者和后手者都使用最优的策略，最后先手者和后手者分别能够取得的总石子数分别是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个正整数N，表示有多少堆石子。输入文件第二行是用空格隔开的N个非负整数a1, a2, ...,
aN，其中ai表示第i堆石子有多少个石子，ai =
0表示第i堆石子开始被A公司故意拿走。输入的数据保证0<=ai<=100,000,000，并且至少有一个i使得ai =
0。30%的数据满足2<=N<=100，100%的数据满足2<=N<=1,000,000。

输出格式：

仅包含一行，为两个整数，分别表示都使用最优策略时，最后先手者和后手者各自能够取得的总石子数，并且两个整数间用一个空格隔开。

输入输出样例

输入样例#1：
复制

8

1 2 0 3 7 4 0 9

输出样例#1： 复制

17 9

样例解释：两个玩家都使用最优策略时取走石子的顺序依次为9, 2, 1, 4, 7, 3，因此先手

者取得9 + 1 + 7 = 17个石子，后手者取得2 + 4 + 3 = 9个石子。本题和一般的博弈问题不一样。本题不讨论输赢,只让选手得到尽量多的石子。
由于双方最终石子数之和是确定的,双方的目标就是使自己-别人的石子数差最大
化。
首先我们可以抽象问题:
有两个栈,若干个双头队列,总长度不超过$10^{6}$
每次可以从栈顶取一个数,也可以从双头队列选一端取一个数。
$2$人轮流以最大化自己数字和的目标取数,问最终结果。
如果只有一个栈,那么取法是一定的。
如果只有一个队列,如果是奇数个,取法也是一定的。如果是偶数个,先手会取
max(奇数位的和,偶数位的和).
本题的关键难点是组合策略。
如果可取元素都是递减的,比如
1 2 3 0 2 1 2 0 4 1
容易发现先手只要贪心地从能取的元素里面拣最大的取走即可。
这样不会给后手好情况。
由于每次一定可以取全场最大值,所以只要一次排序然后交替取值即可。
4 3 2 2 2 1 1 1
如果不是这样,我们可以通过 2 个操作来化简数列:
1. 如果最左端是 A B.. 或者最右端是..B A, 且 A>=B
那么双方在有其它方案时都不会愿意先取走 B,故这种情况可以留到博弈的最后。
由于石子数是确定的,可以直接推出最后谁取到了 A,算出相应差值。
由于可以留到游戏的最后,此时删除这两堆并不影响两人之前的决策。
2. 如果有一段 ..A B C..
且满足 B>=A B>=C
那么我们直接把 ABC 替换成一个 A+C-B 即可。
我们可以这样想:选 A,B,C 的时候是因为没有更好的决策而被迫选的。事实上当
全场没有大于 A+C-B 的石子堆可以直接取时,才会考虑取 A,C 中的一个。那么不管第
一次取 A,B,C 中的元素是从哪边,后手一定也没有别的更好的选择,既然先手选 A/C
都已是被迫了,所以后手选 B 一定不会是差的。留下来的一个也一定是当前不差的选
择。故先手一定取走 A+C,后手取走 B。从对分数差的贡献来看,我们可以直接把 A,B,C
代替成 A+C-B

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 int n,top,pd[],l,r,cnt,tot;
 lol st[],ans,sum,a[];
 bool cmp(lol a,lol b)
 {
   return a>b;
 }
 int main()
 {int i;
   cin>>n;
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       scanf("%lld",&st[++top]);
       sum+=st[top];
       if (st[top]==) pd[top]=;
       tot+=(bool)st[top];
       while (top>&&(!pd[top])&&(!pd[top-])&&(!pd[top-])&&(st[top-]>=st[top])&&(st[top-]>=st[top-]))
     {
       st[top-]=st[top]+st[top-]-st[top-];
       top-=;
     }
     }
   for (l=;(!pd[l])&&(!pd[l+])&&(st[l]>=st[l+]);l+=)
     ans+=tot&?st[l]-st[l+]:st[l+]-st[l];
   for (r=top;(!pd[r])&&(!pd[r-])&&(st[r]>=st[r-]);r-=)
     ans+=tot&?st[r]-st[r-]:st[r-]-st[r];
   for (i=l;i<=r;i++)
     if (pd[i]==) a[++cnt]=st[i];
   sort(a+,a+cnt+,cmp);
   for (i=;i<=cnt;i++)
     {
       if (i&) ans+=a[i];
       else ans-=a[i];
     }
   cout<<(sum+ans)/<<' '<<(sum-ans)/<<endl;
 }