题解 P1082 【同余方程】

题目

这里给出非递归的 exgcd 做法

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【基础】

( 只需要非递归的同学麻烦跳过 )

由于欧几里德算法 ( 又名辗转相除法 ) 可以帮助我们求出最大公约数，并且提出对于

\(\forall a,b\in Z_+,gcd(a,b)|c\) 则 $ ax+by=c $ 一定有整数解

因此，在 \(gcd\) 的基础上，我们提出可以求解 \(x,y\) 的算法：拓展欧几里德算法(exgcd)

如果我们要求解 \(ax+by=gcd(a,b)\)

我们可以知道 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)

而还有 \(gcd(b,a\%b)=bx'+(a\%b)y'\)

所以，很快可以得到：\(ax+by=bx'+(a\%b)y'\)

\(\because\) 很显然 \(a\%b=a-\lfloor{a\over b}\rfloor\times b\)

\(\therefore\) 我们把上式打开可得到：

\(\qquad ax+by=bx'+ay'-\lfloor{a\over b}\rfloor\times by'\)

\(\qquad ax+by=ay'+b(x'-\lfloor{a\over b}\rfloor y')\)

因此，我们要求得 \(x,y\) 就要先求出 \(x',y'\)

而对于 \(ax+0y=gcd(a,0)=a\) ，显然有解为 \(x=1,y=0\)

这就是递归边界

因此，我们可以写出求 \(x,y\) 的程序：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b) { x=1; y=0; return ; }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    x-=a/b*y;
    swap(x,y);
}

那这根这一题有什么关系呢？

你想想，我们要求 \(ax\equiv1(\mod b)\)

是不是相当于求 \(ax=1+by\)

即 \(ax+b(-y)=1\) ?

看到了吗，exgcd 出现了！

所以就是再加一句

inline int ny(int a,int b){
	int x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    return x;
}

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【分析】

这边讲一下如何非递归的实现 exgcd ：

有一部分原理麻烦看一下 这篇文章

已知我们只是需要每次出现的 \(a/b\) 这个值，而且要后面出现的先算，所以我们就把它们压到一个栈里面

算的时候再弹出来就可以了：

int a=read(),b=read(),m=b,tmp[10000]={0},cur=1,x=1,y=0;
tmp[0]=a/b;
while(b^=a^=b^=a%=b) tmp[cur++]=a/b;
while(cur--) y^=x^=y^=x-=tmp[cur]*y;
x=(x%m+m)%m;

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【代码】

核心代码我已经放在上面了，现在放出来的是本蒟蒻 码风极丑的 代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
inline int read(){
    register int ans=0;register char c=getchar(); while(c<48||c>57) c=getchar();
    while(c>=48&&c<=57) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans;
}
int main(){
    register int a=read(),b=read(),m=b,tmp[10000]={0},cur=1,x=1,y=0; tmp[0]=a/b;
    while(b^=a^=b^=a%=b) tmp[cur++]=a/b;
    while(cur--) y^=x^=y^=x-=tmp[cur]*y; x%=m;
    printf("%d",(x<0)?(x+m):x);
    return 0;
}

最后安利一下 本蒟蒻的博客