sdut 2610:Boring Counting（第四届山东省省赛原题，划分树 + 二分）

Boring Counting

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题目描述

    In this problem you are given a number sequence P consisting of N integer and Pi is the ith element in the sequence. Now you task is to answer a list of queries, for each query, please tell us among [L, R], how many Pi is not less than A and not greater than B( L<= i <= R). In other words, your task is to count the number of Pi (L <= i <= R,  A <= Pi <= B).

输入

     In the first line there is an integer T (1 < T <= 50), indicates the number of test cases. 
     For each case, the first line contains two numbers N and M (1 <= N, M <= 50000), the size of sequence P, the number of queries. The second line contains N numbers Pi(1 <= Pi <= 10^9), the number sequence P. Then there are M lines, each line contains four number L, R, A, B(1 <= L, R <= n, 1 <= A, B <= 10^9)

输出

    For each case, at first output a line ‘Case #c:’, c is the case number start from 1. Then for each query output a line contains the answer.

示例输入

1
13 5
6 9 5 2 3 6 8 7 3 2 5 1 4
1 13 1 10
1 13 3 6
3 6 3 6
2 8 2 8
1 9 1 9

示例输出

Case #1:
13
7
3
6
9

提示

 

来源

 2013年山东省第四届ACM大学生程序设计竞赛

---

 

 

　　划分树 + 二分（据说归并树也可以做）。

 

　　题意：给你T组测试数据，每一组测试数据开始有两个整数N和M。分别表示下一行要输入N个整数，后面接着有M行询问，每行询问有4个整数 L,R,A,B，表示在区间 [L,R] 中查找 A<=Pi<=B 的数有多少个，输出数的个数。

 

　　思路：
　　这道题最直接的思路是对要求的区间排一下序，然后依次判断比较，记录下在范围[A,B]之内的数有多少个，即为结果。但是M即询问的次数范围在[1,50000]，如果每询问一次都要排一次序的话，时间消耗过大，所以上来直接pass掉这种思路。

　　因为这道题是基于区间查询，所以接下来我很自然的就想到了“线段树”。线段树的每一个节点代表一个区间，节点中存储的值为区间的特定值，在这里我用节点区间中的最大值，最小值，即数值范围，来表示这个特定值。查询的时候，先找到要找的区间，然后递归下去寻找这个区间内的值有多少个是在数值范围内。如果找到这个区间，发现这个区间的最小值都比[A,B]中的上限B要大，或者最大值都比下限A要小。说明这个区间内没有一个是符合要求的，这个节点代表的整个子树就不用找了。如此，会节约不少时间。

　　但是线段树的方法也会超时，比赛的时候看到TLE可是苦思冥想了好久，想了各种优化的方法。无奈，还是没能用线段树解出这道题。

　　后来比赛结束后查题解，才知道原来还有"划分树"这种神奇的东西。划分树是基于线段树的，但是我感觉它只继承了线段树“基于区间”的特点，其他的感觉我觉得倒没有什么联系。划分树主要是用来解决“区间第k大的数”问题。下面就让我具体的来讲讲如何用划分树解决这道题。

 

　　大家需要先大体了解一下什么是“划分树”，它的作用是“快速求出某一区间内第k大的元素”，例如数列“1,2,3,4,5,6,7,8"，区间[3,6]内第1大的值就是3。

　　那么如何用这个特性求出某一区间内数值在[A,B]范围内的数有多少个呢？

　　举个例子：数列“1,5,6,3,8,4,4,2”，L,R,A,B分别为3,6,4,7，即在区间[3,6]范围内查找数值在[4,7]的数有多少个。很显然，这里要查找的区间就是"6,3,8,4"，4<=Pi<=7的数有2个。

　　用划分树的思路来解决这个问题。先求出这个区间范围内第1大的数是多少，这里是3,拿它和下限 4(A) 来比较，比这个数小，说明不在这个数值范围内。然后求出第2大的数是4,和下限4(A)比较，在这个范围内，记录下它是第几大的数，标记为down，代表 >= 下限A的第一个数是第几大的数，这里为2（第二大的数）。同理，再依次和上限7(B)比较，求出第一个 <= 上限B的数是第几大的数，标记为up，代表 <= 上限B的数是第几大的数，这里为3。这之间包含了多少个数即为要求得的结果，即（up-down+1） 。

　　刚才的思路利用划分树顺序查找锁定up和down的值，这样未免会太慢。这道题对速度的要求还是比较高的，所以这里就要用到“二分"的思想。什么是二分呢？举个例子，如果查询区间为[1,8]，要求数值范围为[3,6]的数有多少个，先求down。可以先用中间那个数来和下限3比较，即用第4大的数和下限比较，如果比下限小，说明个要找的数在第4大的数右边，下一步再用4和8的中间值，即第6大的数和下限比较，最后得到down的值。同理可以求出up的值。这样一来，速度上又进行了一次优化。

 

　　参考资料：

　　划分树    　　SDUT:2610 Boring Counting

 

　　代码（带注释）：

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define MAXN 100005
 struct Divide_tree{
     int arr[MAXN];  //原数组
     int sorted[MAXN];   //排序后数组
     int sum[][MAXN];  //记录第i层1~j划分到左子树的元素个数(包括j）
     int dat[][MAXN];  //记录第i层元素序列
     void build(int c,int L,int R)   //建树，主要是建立sum[][]和dat[][]数组
     {
         int mid = (L+R)>>;
         int lsame = mid-L+;    //lsame用来记录和中间值val_mid相等的，且可以分到左孩子的数的个数
                                 //简单来说就是可以放入左孩子的,与中间值val_mid相等的数的个数
         int lp=L,rp=mid+;  //当前节点的左孩子和右孩子存数的起点
         for(int i=L;i<mid;i++)  //获得一开始的lsame
             if(sorted[i]<sorted[mid])
                 lsame--;
         for(int i=L;i<=R;i++){  //从前往后遍历一遍，
                                 //确定当前节点区间内的所有元素的归属（放在左孩子或者放在右孩子）
             if(i==L) sum[c][i]=;
             else sum[c][i]=sum[c][i-];
             if(dat[c][i]<sorted[mid]){  //当前元素比中间值val_mid小，放入左孩子
                 dat[c+][lp++] = dat[c][i];
                 sum[c][i]++;
             }
             else if(dat[c][i]>sorted[mid])  //当前元素比中间值val_mid大，放入右孩子
                 dat[c+][rp++] = dat[c][i];
             else{  //当前元素值与中间值val_mid相等，根据lsame数判断放入左孩子还是右孩子
                 if(lsame){
                     lsame--;
                     sum[c][i]++;
                     dat[c+][lp++]=sorted[mid];
                 }
                 else{
                     dat[c+][rp++]=sorted[mid];
                 }
             }
         }
         if(L==R) return ;   //递归出口，遇到叶子节点
         build(c+,L,mid);   //递归进入左孩子区间
         build(c+,mid+,R); //递归进入右孩子区间
     }
     int query(int c,int L,int R,int ql,int qr,int k)
     {
         //c为树的层数，L,R为当前节点的区间范围，ql,qr为查询的区间范围，k为查询范围内第k大的数
         if(L==R)    //递归出口，返回第k大的数
             return dat[c][L];
         int s;  //记录[L,ql-1]中进入左孩子的元素的个数
         int ss; //记录[ql,qr]中进入左孩子的元素的个数
         int mid=(L+R)>>;
         if(L==ql){  //端点重合的情况，单独考虑
             s=;
             ss=sum[c][qr];
         }
         else {
             s=sum[c][ql-];
             ss=sum[c][qr]-s;
         }
         if(k<=ss)   //左孩子的元素个数大于k个，说明第k大的元素一定在左孩子区间中，到左孩子中查询
             return query(c+,L,mid,L+s,L+s+ss-,k);
         else
             return query(c+,mid+,R,mid++ql-s-L,mid++qr-s-ss-L,k-ss);
     }
 };
 Divide_tree tree;
 int L,R,A,B;
 int N,M;
 int downbearch(int low,int high)    //找到第一个比B小的数是 第几大的数（用划分树）
 {
     int mid = (low+high+)>>;
     while(low<high){
         if( tree.query(,,N,L,R,mid)<=B )  //查询第mid大的数是否比下界B小。
                                 //如果mid比B小，说明要找的位置在mid右边，low应该右移，即
             low = mid;
         else //否则，说明要找的位置应该在mid左边，即
             high = mid-;
         mid = (low+high+)>>;
     }
     if( tree.query(,,N,L,R,mid)<=B )    //找到了
         return mid;
     else
         return -;
 }
 int upbearch(int low,int high)  //找到第一个比A大的数是 第几大的数（用划分树）
 {
     int mid = (low+high+)>>;
     while(low<high){
         if( tree.query(,,N,L,R,mid)>=A )  //查询第mid大的数是否比上界A大。
                                 //如果mid比A大，说明要找的位置在mid左边，high应该左移，即
             high = mid;
         else //否则，说明要找的位置应该在mid右边，即
             low = mid+;
         mid = (low+high)>>;
     }
     if(tree.query(,,N,L,R,mid)>=A )    //找到了
         return mid;
     else
         return -;
 }
 int main()
 {
     int i,Case,T;
     scanf("%d",&T);
     for(Case=;Case<=T;Case++){
         scanf("%d%d",&N,&M);
         for(i=;i<=N;i++){   //输入
             scanf("%d",&tree.arr[i]);
             tree.sorted[i]=tree.dat[][i]=tree.arr[i];
         }
         sort(tree.sorted+,tree.sorted+N+);
         tree.build(,,N);
         printf("Case #%d:\n",Case);
         for(i=;i<=M;i++){
             scanf("%d%d%d%d",&L,&R,&A,&B);
             int up = downbearch(,R-L+);
             int down = upbearch(,R-L+);
             if(up==-||down==-||A>B||L>R)
                 printf("0\n");
             else printf("%d\n",up-down+);
         }
     }
     return ;
 }

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