noip2013 火柴排队

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

输入文件为 match.in。

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式：

输出文件为 match.out。

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

【输入输出样例 1】
4
2 3 1 4
3 2 1 4
【输入输出样例 2】
4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出样例#1：

【输入输出样例 1】
1
【输入输出样例 2】
2

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint

思路：为了求最小的sigma，我们需要将每列的火柴高度有序化，此时问题就可以看成：要将火柴列A，B都转化成有序数列需要的交换次数。

那么，求有序转化的交换次数的问题，也可以看成求序列逆序对过程，而此题的难点就是需要我们求双序列逆序对。

首先解决单序列的逆序对问题，这里我考虑用我最熟悉的数据结构：树状数组（当然线段树也同样是解题利器，只不过改点求区间树状数组更简洁，优雅）。

算法过程1：利用逆序对定义「1」，数组A中，若i<j，而A[i]>A[j]，则构成一对逆序对，我们可以这样设计：

确定树状数组代表的是一个数域，即数组A中元素值构成的一个区间，而维护区间中数存在的个数（想象桶排序是怎么做的？）。

从1到n遍历数组A，用A[i]的值更新数域。

因为当前树状数组中1～A[i]维护就是数组中下标小于i、且小于A[i]的数的个数，令这个数为T，所以已经纳入树状数组的数的个数i（已经更新了i个数，对吧？）-T=已经更新过却大于A[i]的数的个数S，利用「1」，得出S=当前数构成逆序对的个数。

输出S，算法完成。

其次，我们再解决双序列逆序对问题。

算法过程2：有什么想法呢？无非和数组下标和键值有关，看看题干“0 ≤火柴高度≤ maxlongint”，这就说明我们不可拿火柴高度作为树状数组下标，所以实现存下每根火柴在原数组中的下标A'和B'，以火柴高度为关键字对数组A和B排一下序，根据A'为下标，把B'作为键值，放入数组C中，构成一个次序序列，再用C作为树状数组下标进行算法1操作。

问题解答完毕。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define modnum 99999997
using namespace std;
int C[100001],D[100001],n,ans;
struct box{
    int id,key;
    bool operator<(const box h)const{
        return key<h.key;
    }
}A[100001],B[100001];
void read(box E[])
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&E[i].key);
        E[i].id=i;
    }
}
inline int lowbit(int x)
{return x&(-x);}
inline void add(int x)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        D[i]++;
}
inline int sum(int x)
{
    int cnt=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        cnt+=D[i];
    return cnt;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    read(A);read(B);
    sort(A+1,A+n+1);sort(B+1,B+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        C[A[i].id]=B[i].id;
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add(C[i]);
        ans+=(i-sum(C[i]));
        ans%=modnum;
    }
    printf("%d\n",ans%modnum);
    return 0;
}