【NOIP模拟赛】【数学】完全平方数
问题描述
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数(Pefect Sqaure),也称平方数。
小A认为所有的平方数都是很perfect的~
于是他给了小B一个任务:用任意个不大于n的不同的正整数相乘得到完全平方数,并且小A希望这个平方数越大越好。
请你帮助小B告诉小A满足题意的最大的完全平方数。
输入
输入文件名为number.in
输入仅 1行,一个数n。
输出
输出文件名为number.out
输出仅1行,一个数表示答案。由于答案可以很大,所以请输出答案对100000007(注意!10^8+7)取模后的结果。
输入输出样例1
number.in
7
number.out
144
输入输出样例解释1
144=2×3×4×6,是12的完全平方。
输入输出样例2
number.in
9
number.out
5184
输入输出样例解释2
5184=3×4×6×8×9,是72的完全平方。
数据范围
对于20%的数据,0<n≤100;
对于50%的数据,0<n≤5,000;
对于70%的数据,0<n≤100,000;
对于100%的数据,0<n≤5,000,000。
题解
这题可以简化为在[1,n]中取任意个数,组成最大的形如ans=a^(2*Na)*b^(2*Nb)*……的数即可
很容易发现大于n/2+1的数和质数都不能选择作为底数
而在剩下的数中我们可以枚举i,在[1,n]数字中将每个数字分解为i^xi*φ的形式,记录下Σxi
易证Σxi只有为偶数时才能组成完全平方,取i^(Σxi),
当Σxi为奇数时我们取i^(Σxi-1)
所以 答案就为Σ(i^(Σxi-1))
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; long long n,ans;
bool zs[]; long long query(long long);
long long work(long long,long long);
int main()
{
long long i,j,sum;
scanf("%I64d",&n);
for(i=;i<=n/+;i++)
if(!zs[i]) for(j=;i*j<=n;i++) zs[i*j]=true; ans=;
for(i=;i<=n/+;i++)
{
if(!zs[i])
{
cout<<"*"<<i<<endl;
j=;
sum=query(i); cout<<sum<<endl;
if(sum%!=) sum--;
if(sum!=) j=work(i,sum); cout<<j<<endl;
if(j!=) ans=(ans*j)%;
}
}
printf("%I64d",ans);
return ; } long long query(long long v)
{
long long ans,x;
ans=;
x=n;
for(;x>;x/=v,ans+=x);
return ans;
} long long work(long long a,long long b)
{
long long ans=,x=a%;
for(;b>;b/=,x=(x*x)%) if(b%!=) ans=(ans*x)%;
return ans;
}
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