POJ 1743-POJ - 3261~后缀数组关于最长字串问题

POJ 1743

题意：

有N(1 <= N <=20000)个音符的序列来表示一首乐曲，每个音符都是1~~88范围内的整数，现在要找一个重复的主题。“主题”是整个音符序列的一个子串，它需要满足如下条件：
1.长度至少为5个音符。
2.在乐曲中重复出现。(可能经过转调，“转调”的意思是主题序列中每个音符都被加上或减去了同一个整数值)
3.重复出现的同一主题在原序列中不能有重叠部分。

问题类型：

不可重叠最长重复子串

分析：

因为有转调问题，所以可以将相邻音符的差分数组去做 不可重叠最长重复子串

然后就转化为了后缀数组常用解题类型

(摘自罗穗骞的国家集训队论文):

先二分答案，把题目变成判定性问题：判断是否 存在两个长度为 k 的子串是相同的，

且不重叠。解决这个问题的关键还是利用 height 数组。把排序后的后缀分成若干组，

其中每组的后缀之间的 height 值都 不小于 k。例如，字符串为“aabaaaab”

，当 k=2 时，后缀分成了 4 组，如图 5 所示。

容易看出，有希望成为最长公共前缀不小于 k 的两个后缀一定在同一组。

然后对于每组后缀，只须判断每个后缀的 sa 值的最大值和最小值之差是否不小于 k。

如果有一组满足，则说明存在，否则不存在。整个做法的时间复杂度为 O(nlogn)。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <queue>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <set>
 #include <iostream>
 #include <map>
 #include <stack>
 #include <string>
 #include <time.h>
 #include <vector>
 #define  pi acos(-1.0)
 #define  eps 1e-9
 #define  fi first
 #define  se second
 #define  rtl   rt<<1
 #define  rtr   rt<<1|1
 #define  bug         printf("******\n")
 #define  mem(a,b)    memset(a,b,sizeof(a))
 #define  name2str(x) #x
 #define  fuck(x)     cout<<#x" = "<<x<<endl
 #define  f(a)        a*a
 #define  sf(n)       scanf("%d", &n)
 #define  sff(a,b)    scanf("%d %d", &a, &b)
 #define  sfff(a,b,c) scanf("%d %d %d", &a, &b, &c)
 #define  sffff(a,b,c,d) scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d)
 #define  pf          printf
 #define  FRE(i,a,b)  for(i = a; i <= b; i++)
 #define  FREE(i,a,b) for(i = a; i >= b; i--)
 #define  FRL(i,a,b)  for(i = a; i < b; i++)+
 #define  FRLL(i,a,b) for(i = a; i > b; i--)
 #define  FIN         freopen("data.txt","r",stdin)
 #define  gcd(a,b)    __gcd(a,b)
 #define  lowbit(x)   x&-x
 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
 #define per(i,a,b) for(int i=a-1;i>=b;--i)

 using namespace std;
 typedef long long  LL;
 typedef unsigned long long ULL;
 const int maxn = 1e5 + ;
 const int maxm = 8e6 + ;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int mod = ;

 //rnk从0开始
 //sa从1开始,因为最后一个字符(最小的)排在第0位
 //height从1开始,因为表示的是sa[i - 1]和sa[i]
 //倍增算法 O(nlogn)
 int wa[maxn], wb[maxn], wv[maxn], ws_[maxn];
 int Rank[maxn], height[maxn], sa[maxn], s[maxn];
 int n;
 //Suffix函数的参数m代表字符串中字符的取值范围,是基数排序的一个参数,如果原序列都是字母可以直接取128,如果原序列本身都是整数的话,则m可以取比最大的整数大1的值
 //待排序的字符串放在r数组中,从r[0]到r[n-1]，长度为n
 //为了方便比较大小,可以在字符串后面添加一个字符,这个字符没有在前面的字符中出现过,而且比前面的字符都要小
 //同上,为了函数操作的方便,约定除r[n-1]外所有的r[i]都大于0,r[n-1]=0
 //函数结束后,结果放在sa数组中,从sa[0]到sa[n-1]
 void Suffix ( int *r, int *sa, int n, int m ) {
     int i, j, k, *x = wa, *y = wb, *t;
     //对长度为1的字符串排序
     //一般来说,在字符串的题目中,r的最大值不会很大,所以这里使用了基数排序
     //如果r的最大值很大,那么把这段代码改成快速排序
     for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] = ;
     for ( i = ; i < n; ++i ) ws_[x[i] = r[i]]++; //统计字符的个数
     for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] += ws_[i - ]; //统计不大于字符i的字符个数
     for ( i = n - ; i >= ; --i ) sa[--ws_[x[i]]] = i; //计算字符排名
     //基数排序
     //x数组保存的值相当于是rank值
     for ( j = , k = ; k < n; j *= , m = k ) {
         //j是当前字符串的长度,数组y保存的是对第二关键字排序的结果
         //第二关键字排序
         for ( k = , i = n - j; i < n; ++i ) y[k++] = i; //第二关键字为0的排在前面
         for ( i = ; i < n; ++i ) if ( sa[i] >= j ) y[k++] = sa[i] - j; //长度为j的子串sa[i]应该是长度为2 * j的子串sa[i] - j的后缀（第二关键字）,对所有的长度为2 * j的子串根据第二关键字来排序
         for ( i = ; i < n; ++i ) wv[i] = x[y[i]]; //提取第一关键字
         //按第一关键字排序 (原理同对长度为1的字符串排序)
         for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] = ;
         for ( i = ; i < n; ++i ) ws_[wv[i]]++;
         for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] += ws_[i - ];
         for ( i = n - ; i >= ; --i ) sa[--ws_[wv[i]]] = y[i]; //按第一关键字,计算出了长度为2 * j的子串排名情况
         //此时数组x是长度为j的子串的排名情况,数组y仍是根据第二关键字排序后的结果
         //计算长度为2 * j的子串的排名情况,保存到数组x
         t = x;
         x = y;
         y = t;
         for ( x[sa[]] = , i = k = ; i < n; ++i )
             x[sa[i]] = ( y[sa[i - ]] == y[sa[i]] && y[sa[i - ] + j] == y[sa[i] + j] ) ? k -  : k++;
         //若长度为2 * j的子串sa[i]与sa[i - 1]完全相同,则他们有相同的排名
     }
 }
 void calheight ( int *r, int *sa, int n ) {
     int i, j, k = ;
     for ( i = ; i <= n; i++ ) Rank[sa[i]] = i;
     for ( i = ; i < n; height[Rank[i++]] = k )
         for ( k ? k-- : , j = sa[Rank[i] - ]; r[i + k] == r[j + k]; k++ );
 }
 bool judge ( int c ) {
     int Max = sa[], Min = sa[];
     for ( int i = ; i <= n; i++ ) {
         if ( height[i] >= c )
             Max = max ( Max, sa[i] ), Min = min ( Min, sa[i] );
         else
             Max = sa[i], Min = sa[i];
         if ( Max - Min >= c +  )
             return true;
     }
     return false;
 }
 int main() {
     while ( sf ( n ) && n ) {
         int maxx = ;
         for ( int i = ; i < n ; i++ ) {
             sf ( s[i] );
             if ( i ) s[i - ] = s[i] - s[i - ] + , maxx = max ( maxx, s[i - ] );
         }
         s[n-] = ;
         n--;
         Suffix ( s, sa, n + , maxx +  );
         calheight ( s, sa, n );
         int low = , high = n, ans = ;
         while ( low <= high ) {
             int mid = ( low + high ) / ;
             if ( judge ( mid ) ) {
                 low = mid + ;
                 ans = mid;
             } else high = mid - ;
         }
         if ( ans <  ) printf ( "0\n" );
         else printf ( "%d\n", ans +  );
     }
     return ;
 }

POJ 3261 Milk Patterns

题意：

给出一个字符串，求至少出现k次的可重叠的最长子串的长度

(摘自罗穗骞的国家集训队论文):

算法分析： 这题的做法和上一题差不多，也是先二分答案，然后将后缀分成若干组。

不同的是，这里要判断的是有没有一个组的后缀个数不小于 k。

如果有，那么存在 k 个相同的子串满足条件，否则不存在。这个做法的时间复杂度为 O(nlogn)。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <queue>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <set>
 #include <iostream>
 #include <map>
 #include <stack>
 #include <string>
 #include <time.h>
 #include <vector>
 #define  pi acos(-1.0)
 #define  eps 1e-9
 #define  fi first
 #define  se second
 #define  rtl   rt<<1
 #define  rtr   rt<<1|1
 #define  bug         printf("******\n")
 #define  mem(a,b)    memset(a,b,sizeof(a))
 #define  name2str(x) #x
 #define  fuck(x)     cout<<#x" = "<<x<<endl
 #define  f(a)        a*a
 #define  sf(n)       scanf("%d", &n)
 #define  sff(a,b)    scanf("%d %d", &a, &b)
 #define  sfff(a,b,c) scanf("%d %d %d", &a, &b, &c)
 #define  sffff(a,b,c,d) scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d)
 #define  pf          printf
 #define  FRE(i,a,b)  for(i = a; i <= b; i++)
 #define  FREE(i,a,b) for(i = a; i >= b; i--)
 #define  FRL(i,a,b)  for(i = a; i < b; i++)+
 #define  FRLL(i,a,b) for(i = a; i > b; i--)
 #define  FIN         freopen("data.txt","r",stdin)
 #define  gcd(a,b)    __gcd(a,b)
 #define  lowbit(x)   x&-x
 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
 #define per(i,a,b) for(int i=a-1;i>=b;--i)

 using namespace std;
 typedef long long  LL;
 typedef unsigned long long ULL;
 const int maxn = 1e5 + ;
 const int maxm = 8e6 + ;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int mod = ;

 //rnk从0开始
 //sa从1开始,因为最后一个字符(最小的)排在第0位
 //height从1开始,因为表示的是sa[i - 1]和sa[i]
 //倍增算法 O(nlogn)
 int wa[maxn], wb[maxn], wv[maxn], ws_[maxn];
 int Rank[maxn], height[maxn], sa[maxn], s[maxn];
 int n, K;
 //Suffix函数的参数m代表字符串中字符的取值范围,是基数排序的一个参数,如果原序列都是字母可以直接取128,如果原序列本身都是整数的话,则m可以取比最大的整数大1的值
 //待排序的字符串放在r数组中,从r[0]到r[n-1]，长度为n
 //为了方便比较大小,可以在字符串后面添加一个字符,这个字符没有在前面的字符中出现过,而且比前面的字符都要小
 //同上,为了函数操作的方便,约定除r[n-1]外所有的r[i]都大于0,r[n-1]=0
 //函数结束后,结果放在sa数组中,从sa[0]到sa[n-1]
 void Suffix ( int *r, int *sa, int n, int m ) {
     int i, j, k, *x = wa, *y = wb, *t;
     //对长度为1的字符串排序
     //一般来说,在字符串的题目中,r的最大值不会很大,所以这里使用了基数排序
     //如果r的最大值很大,那么把这段代码改成快速排序
     for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] = ;
     for ( i = ; i < n; ++i ) ws_[x[i] = r[i]]++; //统计字符的个数
     for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] += ws_[i - ]; //统计不大于字符i的字符个数
     for ( i = n - ; i >= ; --i ) sa[--ws_[x[i]]] = i; //计算字符排名
     //基数排序
     //x数组保存的值相当于是rank值
     for ( j = , k = ; k < n; j *= , m = k ) {
         //j是当前字符串的长度,数组y保存的是对第二关键字排序的结果
         //第二关键字排序
         for ( k = , i = n - j; i < n; ++i ) y[k++] = i; //第二关键字为0的排在前面
         for ( i = ; i < n; ++i ) if ( sa[i] >= j ) y[k++] = sa[i] - j; //长度为j的子串sa[i]应该是长度为2 * j的子串sa[i] - j的后缀（第二关键字）,对所有的长度为2 * j的子串根据第二关键字来排序
         for ( i = ; i < n; ++i ) wv[i] = x[y[i]]; //提取第一关键字
         //按第一关键字排序 (原理同对长度为1的字符串排序)
         for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] = ;
         for ( i = ; i < n; ++i ) ws_[wv[i]]++;
         for ( i = ; i < m; ++i ) ws_[i] += ws_[i - ];
         for ( i = n - ; i >= ; --i ) sa[--ws_[wv[i]]] = y[i]; //按第一关键字,计算出了长度为2 * j的子串排名情况
         //此时数组x是长度为j的子串的排名情况,数组y仍是根据第二关键字排序后的结果
         //计算长度为2 * j的子串的排名情况,保存到数组x
         t = x;
         x = y;
         y = t;
         for ( x[sa[]] = , i = k = ; i < n; ++i )
             x[sa[i]] = ( y[sa[i - ]] == y[sa[i]] && y[sa[i - ] + j] == y[sa[i] + j] ) ? k -  : k++;
         //若长度为2 * j的子串sa[i]与sa[i - 1]完全相同,则他们有相同的排名
     }
 }
 void calheight ( int *r, int *sa, int n ) {
     int i, j, k = ;
     for ( i = ; i <= n; i++ ) Rank[sa[i]] = i;
     for ( i = ; i < n; height[Rank[i++]] = k )
         for ( k ? k-- : , j = sa[Rank[i] - ]; r[i + k] == r[j + k]; k++ );
 }
 bool judge ( int mid ) {
     int cnt = ;
     for ( int i = ; i <= n; i++ ) {
         if ( height[i] >= mid ) cnt++;
         else cnt = ;
         if ( cnt+ >= K ) return true;
     }
     return false;
 }
 int main() {
     while ( ~sff ( n, K ) ) {
         int maxx = ;
         for ( int i = ; i < n ; i++ ) sf ( s[i] ), maxx = max ( maxx, s[i] );
         s[n] = ;
         Suffix ( s, sa, n + , maxx +  );
         calheight ( s, sa, n );
         int low = , high = n, ans = ;
         while ( low <= high ) {
             int mid = ( low + high ) / ;
             if ( judge ( mid ) ) {
                 low = mid + ;
                 ans = mid;
             } else high = mid - ;
         }
         printf ( "%d\n", ans );
     }
     return ;
 }