倍增（在线）求LCA

这几天，提高B组总是有求LCA的题。由于我是蒟蒻，所以老是做不出来，直接上暴力。现在才弄懂。

没耐心看前面部分的大神门可以直接看后面。

ST（RMQ）算法（在线）求LCA

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LCA是什么？

在一棵树上，两个节点的最近公共祖先就是LCA。

求LCA有什么用？

我见到最多的是，在一些题目中，我们需要找出树上两个点之间的路径，其中就要借助LCA，作为一个中转点。

举个例子：

我们要找出两个红色的点之间的路径。



黄色的这条路就是我们要求的。



怎么找？

暴力方法1

BFS或DFS遍历一遍。时间复杂度显然是O(N)的。

但我们要记住，这不是图，而是一棵树！

这是一棵树，所以每两个点之间一定有一个中转点（可能是它们本身）！

这个中转点就是它们的最近公共祖先。（图中绿色的那个点）



两个点之间的路径显然。

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怎么求LCA？

暴力方法2

先dfsO(N)记录它的父亲。

两端同时暴力往上跳，每到一个点就打一个标记，跳到打过标记的点时退出，这个点就是LCA。



但速度较慢。设两个点为x和y，深度为deep[x]和deep[y]。那么将最多会有abs(deep[x]-deep[y])个没有用的点被搜到（比如这个图的第5步实际上是没用的）。那么，我们能不能不搜到这些没用的点？

当然可以！

暴力方法3

首先用dfsO(N)预处理出每个点的深度（它们的父亲也可以同时处理）。

先挑一个比较深的点，往上跳到与另一个点深度相同的位置。然后两边同时往上面暴力，相遇的点即答案。

然而还是过不了。看看例题（LCA模板题）。这种方法只有70分。因为每次都要搜一遍，很慢。

如果数据出了一条链来卡，就跑得超慢。

这也不行，那怎么办？（读者：说了这么久还是在将暴力，你几个意思啊？）

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倍增求LCA

求LCA有几种方法，在网上我见到了tarjan（离线），RMQ转LCA，还有树链剖分。我介绍一个方法，叫倍增。

设f[i][j]表示点i往上的第2^j个祖先。

首先我们用dfsO(NlgN)求出f数组。式子：f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]。不解释。

然后我们就可以优美地倍增啦！首先，原来的套路，将两个点跳到同一深度（跳到同一深度的过程也是几个几个跳）。然后将j从大到小枚举，若f[x][j]!=f[y][j]，则跳过去。否则就别跳，不然可能会跳过LCA。

最终的答案为f[x][0]（f[y][0]一样）。因为在这种限制下，不可能出现x==y的情况，除它们在同一条链上，如下图



这种情况可以特判。因为你在统一它们的深度后，它们就已经重合了。

时间复杂度：O(NlgN+QlgN)

空间复杂度：O(NlgN)

NlgN为dfs预处理的时间，Q是询问次数。

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代码实现

例题 P3379【模板】最近公共祖先（LCA）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,s;
struct EDGE
{
    int x,y;
    EDGE* las;
} e[1000001];//前向星存边
int ne;
EDGE* last[500001];
int f[500001][21];
int deep[500001];
void make_tree(int,int,int);
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    int i,x,y;
    for (i=1;i<n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        e[++ne]={x,y,last[x]};
        last[x]=e+ne;
        e[++ne]={y,x,last[y]};
        last[y]=e+ne;
    }
    make_tree(s,0,0);
    int j,k,tx,ty;
    for (i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if (deep[x]<deep[y])
            swap(x,y);//确保x为深度较大的那个点
        k=deep[x]-deep[y];
        j=0;
        while (k)
        {
            if ((k&1))
                x=f[x][j];
            k>>=1;
            ++j;
        }//这段代码起了将两点的深度统一的作用。不知道这样打的原因的同学可以想想快速幂。当然也可以向下面那样打for。两种都可以。
        if (x==y)
        {
            printf("%d\n",x);
            continue;
        }
        for (j=int(log2(deep[x]));j>=0;--j)//若这里像上面那样打while会错。原因不解释。
            if (f[x][j]!=f[y][j])
            {
                x=f[x][j];
                y=f[y][j];
            }
        printf("%d\n",f[x][0]);
    }
}
void make_tree(int t,int fa,int de)
{
    f[t][0]=fa;
    int i,j;
    for (i=1,j=2;j<=de;++i,j<<=1)
        f[t][i]=f[f[t][i-1]][i-1];//处理处f数组
    deep[t]=de;
    EDGE* ei;
    for (ei=last[t];ei;ei=ei->las)
        if (ei->y!=fa)
            make_tree(ei->y,t,de+1);
}