UOJ236 IOI2016 Railroad 差分、欧拉回路、最小生成树

传送门

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将“进入路段时速度\(\leq s_i\)”转换为：“进入路段时速度恰好等于\(s_i\)，并且铺设铁轨有加速和减速两种，加速无需代价，减速每\(1 km/h\)花费\(1\)的代价”。

将所有路段\((s_i,t_i)\)变为图上的一条边\((s_i , t_i)\)，然后加上一条\((INF , 1)\)边，我们要求的就是一条代价最小的经过所有这些边的欧拉回路。

先对于所有速度离散化，然后考虑一段区间\([v_i , v_{i+1})\)，在欧拉回路中从左往右经过它的次数应该等于从右往左经过的次数。先用差分维护一下每一段区间从左往右和从右往左经过的次数，然后给这段区间加上从左往右或者从右往左的若干条边并计算贡献。

加好边了之后可能会存在若干个连通块，但题目要求图联通。这个时候加入的边一定会是相邻两个速度之间的边，所以把这些边拿出来跑最小生成树即可。

#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 4e5 + 7;
int N;
vector < int > lsh;
int cf[MAXN] , fa[MAXN];
struct Edge{
	int s , t , w;
	bool operator <(const Edge a)const{return w < a.w;}
}Ed[MAXN];

int find(int x){return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find(fa[x]));}

long long plan_roller_coaster(vector<int> s, vector<int> t){
	lsh.insert(lsh.end() , s.begin() , s.end());
	lsh.insert(lsh.end() , t.begin() , t.end());
	lsh.push_back(1);
	sort(lsh.begin() , lsh.end());
	auto it = unique(lsh.begin() , lsh.end());
	int len = it - lsh.begin();
	for(int i = 1 ; i < len ; ++i) fa[i] = i;
	for(int i = 0 ; i < s.size() ; ++i){
		int p = lower_bound(lsh.begin() , it , s[i]) - lsh.begin() , q = lower_bound(lsh.begin() , it , t[i]) - lsh.begin();
		++cf[p]; --cf[q];
		fa[find(p)] = find(q);
	}
	--cf[0];
	long long sum = 0;
	int cnt = 0;
	for(int i = 0 ; i < len ; ++i){
		if(i) cf[i] += cf[i - 1];
		if(cf[i] > 0){
			fa[find(i)] = find(i + 1);
			sum += 1ll * cf[i] * (lsh[i + 1] - lsh[i]);
		}
		else if(cf[i] == 0)  Ed[++cnt] = (Edge){i , i + 1 , lsh[i + 1] - lsh[i]};
		else fa[find(i)] = find(i + 1);
	}
	sort(Ed + 1 , Ed + cnt + 1);
	for(int i = 1 ; i <= cnt ; ++i)
		if(find(Ed[i].s) != find(Ed[i].t)){
			fa[find(Ed[i].s)] = find(Ed[i].t);
			sum += Ed[i].w;
		}
	return sum;
}