UOJ236 IOI2016 Railroad 差分、欧拉回路、最小生成树
将“进入路段时速度\(\leq s_i\)”转换为:“进入路段时速度恰好等于\(s_i\),并且铺设铁轨有加速和减速两种,加速无需代价,减速每\(1 km/h\)花费\(1\)的代价”。
将所有路段\((s_i,t_i)\)变为图上的一条边\((s_i , t_i)\),然后加上一条\((INF , 1)\)边,我们要求的就是一条代价最小的经过所有这些边的欧拉回路。
先对于所有速度离散化,然后考虑一段区间\([v_i , v_{i+1})\),在欧拉回路中从左往右经过它的次数应该等于从右往左经过的次数。先用差分维护一下每一段区间从左往右和从右往左经过的次数,然后给这段区间加上从左往右或者从右往左的若干条边并计算贡献。
加好边了之后可能会存在若干个连通块,但题目要求图联通。这个时候加入的边一定会是相邻两个速度之间的边,所以把这些边拿出来跑最小生成树即可。
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 4e5 + 7;
int N;
vector < int > lsh;
int cf[MAXN] , fa[MAXN];
struct Edge{
int s , t , w;
bool operator <(const Edge a)const{return w < a.w;}
}Ed[MAXN];
int find(int x){return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find(fa[x]));}
long long plan_roller_coaster(vector<int> s, vector<int> t){
lsh.insert(lsh.end() , s.begin() , s.end());
lsh.insert(lsh.end() , t.begin() , t.end());
lsh.push_back(1);
sort(lsh.begin() , lsh.end());
auto it = unique(lsh.begin() , lsh.end());
int len = it - lsh.begin();
for(int i = 1 ; i < len ; ++i) fa[i] = i;
for(int i = 0 ; i < s.size() ; ++i){
int p = lower_bound(lsh.begin() , it , s[i]) - lsh.begin() , q = lower_bound(lsh.begin() , it , t[i]) - lsh.begin();
++cf[p]; --cf[q];
fa[find(p)] = find(q);
}
--cf[0];
long long sum = 0;
int cnt = 0;
for(int i = 0 ; i < len ; ++i){
if(i) cf[i] += cf[i - 1];
if(cf[i] > 0){
fa[find(i)] = find(i + 1);
sum += 1ll * cf[i] * (lsh[i + 1] - lsh[i]);
}
else if(cf[i] == 0) Ed[++cnt] = (Edge){i , i + 1 , lsh[i + 1] - lsh[i]};
else fa[find(i)] = find(i + 1);
}
sort(Ed + 1 , Ed + cnt + 1);
for(int i = 1 ; i <= cnt ; ++i)
if(find(Ed[i].s) != find(Ed[i].t)){
fa[find(Ed[i].s)] = find(Ed[i].t);
sum += Ed[i].w;
}
return sum;
}
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