【CF944G】Coins Exhibition DP+队列

【CF944G】Coins Exhibition

题意：Jack去年参加了一个珍稀硬币的展览会。Jack记得一共有 $k$ 枚硬币，这些硬币排成一行，从左到右标号为 $1$ 到 $k$ ，每枚硬币是正面朝上的或是反面朝上的。但是Jack不记得每枚硬币具体是正面朝上还是反面朝上了。但是Jack隐约记得，在某些区间里，至少有一枚正面朝上的；以及在某些区间里，至少有一枚反面朝上的。现在Jack想知道，有多少种可能的硬币序列，满足他所记得的所有条件。两个序列被认为是不同的，当且仅当至少存在一个位置 $i$ ，满足第 $i$ 枚硬币在一个序列中正面朝上，而在另一个里反面朝上。

$1\le k\le 10^9,0\le n,m\le 10^5,1\le l\le r\le k$

题解：先将条件离线，按右端点排序，然后DP。设f[i][j][0]表示第i个是0，最后一个1是j-1的方案数，f[i][j][1]表示第i个是1，最后一个0是j-1的方案数。转移很显然：

$f[i][j][a]=f[i][j][a](j<i)$

$f[i][i][a]=\sum\limits_{j=1}^{i-1}f[i][i-1][1-a]$

当遇到一个条件[l,r,a]时，我们只需要把f[r][1..l][a^1]都改成0即可。

但是k很大，我们考虑经过连续的一段都没有任何条件时DP数组会转移成什么样。设$x=\sum\limits_{j=1}^{i}f[i][j][0],y=\sum\limits_{j=1}^if[i][j][1]$。因为f[i+1][1..i]=f[i][1..i]，所以我们只需要关注f[i+1][i+1]就好了。自己推一推就会发现：

0：(sum=x)  y  x+y  2x+2y  4x+4y...
1：(sum=y ) x  x+y  2x+2y  4x+4y...

就是一个等比数列嘛！于是我们将连续的等比数列放到一起，然后用队列维护一下就好了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
const int maxn=400010;
int n,m,K,tot;
struct node
{
	int l,r,k;
}p[maxn];
inline ll pm(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z*x%P;
		x=x*x%P,y>>=1;
	}
	return z;
}
struct data
{
	ll sum;
	int h,t;
	int L[maxn],R[maxn];
	ll s[maxn],v[maxn];
	void init()
	{
		h=t=L[1]=R[1]=v[1]=s[1]=sum=1;
	}
	void updata(int l,int r,ll tmp)
	{
		if(R[t]<r)
		{
			t++,L[t]=R[t]=R[t-1]+1,s[t]=v[t]=tmp,sum=(sum+tmp)%P;
			if(R[t]<r)
			{
				t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=r,s[t]=(pm(2,R[t]-L[t]+1)-1)*sum%P,v[t]=sum,sum=(sum+s[t])%P;
			}
		}
		while(h<=t&&R[h]<=l)	sum=(sum-s[h])%P,h++;
		if(h<=t&&L[h]<=l)
		{
			v[h]=v[h]*pm(2,l+1-L[h])%P,L[h]=l+1,sum=(sum-s[h])%P,s[h]=(pm(2,R[h]-L[h]+1)-1)*v[h]%P,sum=(sum+s[h])%P;
		}
	}
}s[2];
bool cmp(const node &a,const node &b)
{
	return a.r<b.r;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&K,&n,&m);
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)	scanf("%d%d",&p[i].l,&p[i].r);
	for(i=1;i<=m;i++)	scanf("%d%d",&p[i+n].l,&p[i+n].r),p[i+n].k=1;
	n+=m;
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	s[0].init(),s[1].init();
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		ll a=s[0].sum,b=s[1].sum;
		if(!p[i].k)	s[0].updata(0,p[i].r,b),s[1].updata(p[i].l,p[i].r,a);
		else	s[0].updata(p[i].l,p[i].r,b),s[1].updata(0,p[i].r,a);
	}
	ll a=s[0].sum,b=s[1].sum;
	s[0].updata(0,K,b),s[1].updata(0,K,a);
	printf("%lld",(s[0].sum+s[1].sum+P+P)%P);
	return 0;
}