[SDOI2015]约数个数和 --- 简单反演

求\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}d(ij)\)

不知道怎么讲.....

首先考虑\(d(ij)\)究竟是什么

首先，很自然地想到，既然是求\(ij\)的约数个数

因此就枚举\(i,j\)的约数

即\(d(ij) =\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}...\)

注意到，我们不能重复地统计

我们从唯一分解得形式来考虑

因为多个质因子个和一个质因子的情况是一致的

因此我们考虑一个质因子

假设\(i = p^a, j = p^b\)且\(a\leq b\)

那么对于\(ij = p^{a+b}\)，它的约数中质因子的取值范围为\([0,\;\;a+b]\)

如果我们能制定一种规则使得每个质因子取值只与一种\(i,j\)的质因子方案对应就好了

记当前枚举的\(ij\)约数为\(d\)，且\(d = p^c = p^{a'+b'}\)，其中\(a'\)来源于\(i\)，\(b'\)来源于\(j\)

注意到，对于\([0,\;\;b]\)，我们都可以只让\(a' = 0, b' = [0,b]\)来达到

而\([b+1,\;\;a+b]\)，我们可以只让\(a'=[1,a], b' = b\)来达到

而\(b'=b\)相当于\(b'=0\)(枚举因子的特殊性)

也就是说\(a'=0\)或\(b'=0\)时对应一种情况

也就是只要判断\([gcd(i, j)=1]\)即可

因此\(d(ij) = \sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j} [gcd(x, y)=1]\)

那么，简单地化下式子，答案就能出现

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} d(ij) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{x|i} \sum\limits_{y|j} [gcd(x, y)=1] $

\(=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{x|i} \sum\limits_{y|j} \sum\limits_{d|x \;and \;d|y} \mu(d)\)

注意到，我们如果先枚举\(d\)，相当于枚举它的倍数\(i, j\)，再枚举\(i, j\)内有多少数含\(d\)因子

\(=\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)} \mu(d)\sum\limits_{d|i}^{n} \sum\limits_{d|j}^{m} [n/ d][m/d]\)

预处理\(\mu\)以及某个神奇的函数就可以回答了